Bonsoir,

voilà un exercice qui me pose qq problèmes:

Soit f:[a,b]-> une fonction bornée Riemann-Integrable.

1)Montrer que n\{0}, il existe une subdivision Sn={a=s(0)^(n)<...<s(pn)^(n)=b) telle que (f,Sn)-(f,Sn)1/n

2)On pose:
           Un=f(b)1{b}+inff.1[s(i),s(i+1)[   et   Vn=f(b)1({b})+supf.1[s(i),s(i+1)[  
où les sommes vont de 0 à pn,1 l'indicatrice avec {b} et [s(i),s(i+1)[ l'ensemble sur lequel l'indicatrice est définie   et inf et sup sont sur l'intervalle  [s(i),s(i+1)[

Montrer que Un et Vn sont deux fonctions boréliennes bornées telles que UnfVn et  Vndl-Undl1/n.

3)On pose u=sup(Un) et v=inf(Vn). montrer que u et v sont deux fonctions boréliennes bornée telles que u=v=f Lebesgue-presque partout et telles que u.dl=v.dl=f(t)dt  

4)Déduire de la question précédente que f est L([a,b])-mesurable et que f.dl=f(t)dt, ce qui montre que l'intégrale de Lebesgue étend celle de Riemann.


Pour les intégrales, on a:les intégrales de de Un,Vn,u et v sont sur [a,b] et les bornes de l'intégrale de Riemann de f sont a et b.



1)---C'est bon
2)---C'est bon
3) et 4)--- pas d'idée! Besoin d'aide.