L'irrationalité de semble avoir été découverte par les pythagoriciens. La démonstration proposée ci-dessous est très voisine de celle d'Euclide dans son ouvrage intitulé Elements.
Raisonnaons par l'absurde et supposons qu'il existe une fraction irréductible telle que avec p et q entiers.

a. Expliquer pourquoi alors: ²=²
b. Le nombre ² est-il impair ou pair? En déduire que est pair.
c. Posons
Expliquer pourquoi: ²=². En déduire que est pair.
d. On sait que est pair et que est irréductible. En déduire que est impair.
e. Où est la contradiction?
Donc l'hypothèse rajoutée au début est fausse, càd: il n'existe pas de fraction irréductible égale à . Donc est un nombre irrationel.
Je n'y comprends rien! Du a au e, je ne sais pas comment démontrer tout ça!
Je suis perdue, aidez moi svp!