Bonjour tout le monde !
j'ai du mal à démontrer un problème de convergence d'une suite vers la fonction Gamma:
1/Calculer : lim((1-t/n)n) (no comment: exp(-t))
2/ montrer que : x>0, (nx.n!)/(x(x+1)(x+2)...(x+n)) -> (x)
3/ Etudier la convergence pour x dans -\ de:
(nx.n!)/(x(x+1)(x+2)...(x+n))
Est ce que la question 1 est indépendante de 2, ce qui m'étonnerais fortement ...
n'ayant pas vu le lien,
j'ai écrit : (nx.n!)/(x(x+1)(x+2)...(x+n)) = (nx)/(x(x/1+1)(x/2+1)...(x/n+1))
Voilà, j'ai tenter l'encadrement: exp(-x+x²/2)<1/(1+x)<exp(-x)
j'ai sans plus un encadrement de : (nx.n!)/(x(x+1)(x+2)...(x+n)), mais ça ne suffit pas !
Merci de m'aider.
Cordialement.
Non, ce n'est pas indépendant!
.
Maintenant tu poses . Justifies avec le th. de convergence dominée de Lebesgue que :
où est la limite de la suite . Bien sûr, .
Tu trouves la formule
.
Maintenant tu fais ton changement de variable .
On tombe sur .
Finis avec plusieurs IPP pour montrer que .
okeyyyy merciiiii !!
j'avais posé fn(t) = tx-1(1-t/n)n, et donc je n'avais pas de convergence ! Mais avec ton indicatrice tout change. Merci beaucoup...
De rien
D'ailleurs si on note , on retombe sur une fonction connue! C'est la fonction bêta : .
On peut montrer que . Puis on peut aussi montrer que et comme on sait que , on arrive à ce que l'on attendait : .
pour t<n, n'as ton pas (1-t/n)^n<exp(-t) ?
(enfait on est meme dans un cas d'application du th de convergence monotone)
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