Bonjour,

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[b]Quel que soit la proportion au début, on constatera qu'à la fin
on obtiendra un écart correspondant à la différence des tirages+1

a,b    
a+b=n
p tirages
soit m et n tels que m+n=p et I m-n I=d
à la fin
a+d+1  et b-[d+1]

Bonjour Glapion

Est-ce qu'il faut acheter des bonbons ou puisez dans le stock de n?
Qu'appelles-tu proportion: a/b ou b/a?
Merci

précisions : les bonbons que l'on rajoute ne sont pas pris dans le stock, ils viennent d'autres boites que l'on supposera inépuisables. Dans la boite, chaque fois que l'on mange un bonbon, on en rajoute un donc la boite a toujours n bonbons, seule la proportion de bonbons verts et rouges change.
Ce que j'appelle la proportion des bonbons rouges c'est a/n et celle des bonbons verts b/n
(par exemple si on part avec a = 25 et b = 75 donc a 25% de bonbons rouges et 75% de bonbons verts.)
La question c'est : Est-ce que le processus qui consiste chaque fois que l'on mange un bonbon à en remettre un de l'autre couleur conduit à uniformiser à la limite la proportion à 50/50 quelque soit les proportions de départ ou pas ?

Bonjour,

Quelles que soient les proportions de départ la probabilité que chaque quantité de bonbons rouges comprise dans [0,n] soit atteinte se stabilise selon la loi binomiale (n,1/2),
la probabilité pour chaque quantité de bonbons rouges oscillant entre une probabilité nulle et la probabilité donnée par cette loi une fois sur 2, la probabilité nulle étant atteinte quand celles des quantités voisines ne l'est pas.

salut

on a un processus de Markov ...

au couple (a, b) on passe au couple (a + 1, b - 1) avec la probabilité b/n et au couple (a - 1, b + 1) avec la probabilité (a/n)

il est aisé de modéliser ....

bonjour,

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je note le nombre de rouges dans l'urne avant le r+1 ième  tirage
sauf erreur de calcul de ma part

ce qui donne comme  éventuelle limite
  

Suite,

On peut supposer qu'avec un grand  nombre d'essais les tirages seront
de 50% (donc avec une différence nulle) et qu'ainsi la proportion initiale
sera donc la proportion finale.

ben non, au contraire, la proportion va avoir tendance à s'équilibrer 50/50. C'est ce qu'a montré veleda.

Bonjour

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a et b sont les nombres de bonbons R et V et n = a + b.
On écarte les cas  simples n =1 ou   n = 2.
On suppose que n3  
Au rang p,  on désigne par a_p et b_p respectivement, les nombres de bonbons R et V et n = a_p +b_p.
Quand on mange le p-ième  bonbon, on obtient le rang p+1; on a: soit a_p - 1  avec la probabilité q_p = a_p/n, soit a_p + 1  avec la probabilité 1-q_p  bonbons rouge.
On appelle Ep, l'espérance des rouges au rang p .
On a E0 = a , Ep = a_p et E_p+1 = (Ep - 1)q_p + (Ep + 1)(1 - q_p).

Ce qui donne E _p+1 = 1 + (n-2)Ep/n= 1 + r*Ep en posant r =1-2/n

Par récurrence, Ep = rⁱ + r^p*a= (1-r^p)/(1-r) + r^p*a.
  = 1/(1-r) = n/2 = (a+b)/2 car  0< r < 1
Ou bien n est pair et la limite du nombre de rouge est n/2, atteinte ou pas.
Ou bien n est impair et la limite du nombre de rouge (ou vert)  n'existe pas; ce nombre  oscille entre (n-1)/2 et (n+1)/2

oui bravo ming je crois que tu as bien fait le tour de la question.

ouais j'avais tout dit ....