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Les développements limités
Bonsoir voici un exercice que je ne comprend pas rès bien.
A l'aide des développements limités, classeer les trois quantités f(x), g(x) et h(x) par ordre croissant au voisinage de 0. On distinguera le cas x > 0 du cas x < 0
,
et h(x) = ex.
Ma réponse:
Je calcule donc les développements limités des trois fonction et voici ce que je trouve :
f(x) = 1 + x + 1/2 x2 + x2
(x)
g(x) = 1 + x + 1/2 x2 + x2(x)
h(x) = 1 + x + 1/2 x2 + x2(x)
Il onts le même développement limité à l'ordre 2, est ce que je doit continuer avec un ordre plus élevé ou pas. Est ce normal.
Merci d'avance pour votre aide. Ludovic
Tout d'abord merci comaths d'avoir répondu.
Suivant votre conseil voici ce que j'ai obtenu :
J'ai calculé les développements limités des trois fonctions à l'ordre 5 d'où :
f(x) = 1 + x + 1/2 x2 + 1/4 x3 + 1/8 x4 + 1/16 x5 + x5(x)
g(x) = 1 + x + 1/2 x2 + 1/6 x3 + 1/24 x4 + 1/144 x5 + x5(x)
h(x) = 1 + x + 1/2 x2 + 1/6 x3 + 1/24 x4 + 1/120 x5 + x5(x).
Ensuite pour les comparer j'ai penser à comparer les coefficients des termes des x5 et j'en conclu que :
g(x) < h(x) <f(x). Est ce que c'est bon. Merci d'avance pour votre aide.
Je me pose la question de savoir comment gérer le cas où x > 0 et x < 0.
Est ce que je dois utiliser le fait que le terme de plus haut degré a un coefficient impaire et par conséquent si x < 0 alors on aura : f(x) < h(x < g(x) et d'autre part si x > 0 alors on a g(x) < h(x) < f(x). Mais je ne suis pas sûr. Ludovic
Pour moi , comlparer c'est en terme de négligeabilité . On a alors : q<<h<<f et le signe de x importe peu .
Comaths
Bonjour
Ensuite pour les comparer j'ai penser à comparer les coefficients des termes des x5
Non: au voisinage de 0, plus l'exposant est grand et plus la quantité est petite.
C'est d'ailleurs pour cela que le DL est suivant les puissances croissantes: plus le degré est faible, plus la quantité est grande.
autre manière de voir: f(x) - g(x)= 1/4 x3 - 1/6 x3+o(x3 ) = 1/12 x3 +o(x3 )
pour x > 0 : f(x) - g(x)
x3 /12 > 0 donc f > g
pour x < 0 : f(x) - g(x)
x3 /12 < 0 donc f < g
Le calcul est exactement le même pour f et h
Pour comparer g et h, c'est l'ordre 5 qui tranchera.
Merci jeanseb, j'ai compris. En effet je n'avais pas penser à étudier le signe de la différence. Merci encore et bonne journée. Ludovic.
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