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les fonctions continues
Salut à tous !
Je vous présente l'énoncé de mon exercice je vous dis ce que je pense puis vous dans la mesure du possible vous me dîtes un peu ce qu'il va ou pas !! ( voilà le but de mon message )
Le but de cet exercice est de déterminer toutes les fonctions continues sur R telles que :
f(x+y)=f(x)+f(y)
1. Montrer que, pour , les fonctions f:x|-> ax sont solutions du problème posé.
2. Montrer successivement sur N et Z : f(p)=pf(1)
3. montrer que
En déduire que
Soit , on admet
r(n) où r(n) est une suite de rationnels.
Etudier la suite f(r(n)). En déduire que f(x)=xf(1).
trouver alors toutes les solutions du problème posé.
VOilà donc je vous expose un peu ce que j'ai fait même si je n'ai pas bcp avancé !
1. j'ai dit que quelque soit x et y de R², f(x+y)=a(x+y)=ax+ay=f(x)+f(y) car f est linéraire!
Donc les fonctions linéaires f qui à tout x associe ax, sont solutions du problème ...
êtes vous d'accord avec ça dans un premier temps ?
2. Là j'ai pensé à qqchose du genre f(p)=f(1 x p)=p(f(1) car f linéaire ! mais je ne suis pas sur de pouvoir me servir encore du fait que f est linéraire puis si le raisonnement était bon il serait le meme pour toutes les questions de l'exercice ! (question 2 et 3)
Comment pourriez vous me guider pour la question 2 ?
Bonjour.
Pour démontrer que , on peut utiliser la récurrence.
Pour passer à on utilise la fait que f est impaire.
en effet j'ai essayé de partir là dessus !
mais je ne vois pas qu'est-ce qu'il me permet de dire que f est impaire ?
ok
donc a partir de là j'utilise un raisonnement par récurrence comme sur N et j'en déduis que pour p appartenant à Z f(p) = pf(1). merci
Ensuite sur Q ? sur quoi doit-je me baser ? ( je suppose que je dois partir également sur une récurrence... )
Sinon pour revenir à ton raisonnement de ton premier message, on ne suppose pas que f est linéaire (on n'a qu'un seul des axiomes ). C'est ce qu'on essaie de démontrer.
d'accord mais en enlevant ma justification (f est linéaire) le raisonnement est quand meme correct non ?
oui oui ok !!!
voilà la suite de mon exo dis moi ce que tu en penses ?
j'ai montré que f est impaire,
or pour tout p de N f(p)=pf(1)
donc pour tout p de Z, f(p)=-f(-p==-(-p)f(1)=pf(1).
Donc sur Z c'est prouvé !
ensuite sur q appartenant à N* j'ai fait ...
quelque soit x de R, f(nx) = f(x+x+x+...+x) n fois! = nf(x)
donc q x f(1/q) = f(1/q x q)
donc f(1/q) = 1/q x f(1).
puis en déduire pour r appartenant à Q, j'ai di que r = p/q avec (p,q) appartient à ZxZ* donc en multipliant les deux résultat précedents on trouve bien que pour r appartient à Q, f(r)=rf(1)...
Dis moi ce que tu penses de tout ça ???
ok
pour la suite !
on a admis que la lim = x.
Pourrait-tu m'éclairer sur ce que signifie réellement la question " étudier la suite f(rn) ?
En ce qui concerne la suite on peut dire que comme les
sont des rationnels,
. Je ne vois pas ce que l'on pourrait faire d'autre sur cette suite.
Bonjour,
l'application est linéaire sur Q puisque tu as bien f(r)=r.f(1)
Comment on passe en général de Q à R ? Il y'a une hypothèse non utilisée jusqu'à maintenant, il est temps de s'en servir ...
est dense dans 
.ben ya l'histoire de la limite ? mais comment pourrais m'en servir !
j'ai f(rn) = rnf(1).
peut etre en faisant un passage à la limite??
lol merci amauryxiv2
donc f est continue et Q C R donc ??
lim f(r(n))=f(lim r(n))= f(x) !
donc j'en déduis que f est linéaire pour tout x et f(x) = xf(1)...
c'est ça la finalité de l'exo ?
en fait non je ne vois pas comment finir ! je ne sais pas ce que signifie Q est dense dans R !
pouvez vous être plus clair sur la question " etudier f(rn)" ? merci 
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