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les fonctons
Bonjour et bonne année.
J'ai un peu de mal sur un exercice dont voici l'énoncé
Soit x
+*
Montrer qu'il existe un unique réel cx ]0 : +
[ tel que ln(1 + x) = . On justifiera précisément et l'éxistence et l'unicité.
En déduire que pour tout x +*,
0 < < 1.
Voici mon idée :
J'ai pensé a utiliser une fonction h définie par :
h(x) = ln(1 + x) -
Ensuite j'ai calculé la dérivée et j'ai trouvé ceci :
h'(x) = -
Ensuite je calcule cx pour que la dérivée h soit toujours nul et ainsi obtenir au final que la fonction h est constante. Mais j'arrive à un truc de bizarre c'est à dire qu'il faudrait que cx = x.
Qu'en pensez vous? Merci pour votre aide. Ludovic
Bonjour
Ta fonction h n'est pas définie puisque tu ne connais pas et que comme il dépend de x, ta dérivée n'a aucun sens!
Pour montrer l'existence de applique le théorème des accroissements finis à la fonction f(t)=ln(1+t) sur [0;x]. le reste vient tou seul!
Merci Camélia.
Alors voici ma réponse si j'ai bien compris. C'est surtout le début où je ne suis pas sur de la rédaction.
Je viens de remarquer que j'ai fait une erreur dans mon énoncé, cx ]0 ; x[
Soit la fonction f définie sur ]-1 ; +[ par f(x) = ln(1 + x).
Or la fonction ln est définie et continue sur [0 ; x] en rappelant que x > 0, de même pour la fonction 1 + x.
Ainsi la fonction f est continue sur [0 ; x] et dérivable sur ]0 ; x[.
Pour 
]0 ; x[ on a :
f'(x) = .
Selon le TAF, il existe un réel cx ]0, x[ tel que :
f(x) - f(0) = (x - 0)f'(cx) soit
ln(1 - x) = x
d'où ensuite l'égalité à démontrer.
Merci de m'indiquer si ma résation de départ est correcte ou pas. Ludovic
C'est presque correct, sauf que je n'aime pas tes notations. Tu travailles sur l'intervalle [0;x] avec x fixé. Dans ce cas il vaut mieux noter la fonction f(t)=Ln(1+t). Le TAF donne l'exisytence d'un ainsi noté parcequ'il dépend de x.
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