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Les Frises
Bonjour a tous, comme souvent j'ai un petit problème sur un exercice:
La définition d'une frise F de vecteur u: F est une partie du plan P, F est une frise de vecteur u si le sous groupe des translation de ISO (F) est engendré par u
P est un plan avec un repère orthonormé (O i j)
je dois montrer que F= l'ensemble des points de coordonnées (x,y)tels que
x+(1-2*|y|)1/2 est un entier
est une frise de vecteur u=i (i est le vecteur du repère)
je montre donc que une translation de vecteur i laisse globalement invariant la frise
mais mon problème vient quand je doit montrer que toute autre translation de ISO(F) est une translation de vecteur w = ku avec k entier.
des idées ?
merci par avance
A2lin
Bonjour
Si on note il est immédiat qu'une translation de ISO(F) doit envoyer
sur un donc ce sera une translation de vecteur ku.
bonjour,
mais en fait mon pb est de montrer qu'il n'y en a pas d'autres.On le voit ("il est immediat")mais je ne sais pas le montrer.
je pense qu'il faut montrer que: soit w un vecteur de coordonée (a,b) dans ma base et soit M(x,y) un point de ma frise F soit M'(x',y')=M(x,y)+w
alors M'(x',y') apartient a F ssi x'=kx et y'=y
mais là ou je bloque c'est dans les differents "ssi"
merci
Ce n'est pas tout à fait ça! Tu dois montrer que si pour tout (x,y) de F on a (x+a,y+b) dans F, alors (a,b)=(k,0) avec k entier.
En fait, quand j'ai dit "il est immédiat" je pensais à des arguments topologiques. Comme une translation est un homéomorphisme, et comme les composantes connexes de F sont les nécessairement l'image de
est un des
.
Ceci étant dit, on peut quand même raisonner directement. Si , on a
, donc ton b=0, sinon on sort de cet intervalle!
Ensuite, il est clair que a doit être entier!
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