Bonjour
c'est tout au début que ça foire ! tu ne peux pas dire "voilà mon raisonnement pour i supérieur à j" ! commence par écrire ta somme en extension dans le cas simple n=2 pour te rendre compte ....

c'est a dire "écrire ma somme en extension pour n=2 " ?

sans les signes sigma, en écrivant tous les termes de la somme

et bien ca donne : [(1(1+1))/2] + [(2(2+1)/2 = 1+3 = 4

donc comment est ce que je dois faire au début ? je dois d'abbord sortir le i de la somme qui a pour indice j, et pres scinder la somme en deux ?

comment tu peux avoir des fractions alors que les termes additionnés sont soit i soit j selon lequel des deux est le plus grand

.....

parce que la formule dit que _i=1ⁿ i =  [(n(n+1))/2]

non ? je dois pas appliquer ca ?

Bonjour.

On peut distinguer les cas où i = j et les cas où i j :



Le calcul devient alors plus simple.

lafol : j'ai pas compris grand chose ...

raymond : je ne comprends pas pourquoi tu multiplie la somme par deux . deux plus, j'avais demandé a ma prof de m'expliquer un peu le début, et on en était arriver au fait qu'il fallait scinder la somme en deux et qu'on arrivaot, à la fin, a une somme de la forme a_i . or, je ne vois pas ou est ce que ca apparait dans ton raisonnement

1°) Le "2" vient du fait que Max(i,j) = Max(j,i)

2°) Tu sais quand même ce que vaut Max(i,i) ?

3°) Dans la deuxième somme, i < j, donc, Max(i,j) est également évident.

et bien max (i,i) = n non ? puis que i va jusqu'a n .

mais la, pour la deuxième somme, tu ne te place que dans le cas ou ji . non ?

Max(i,i) = i

Tu n'es pas encore dans le problème.

Dans la somme double en (i,j) du début, tu as :

1°) les termes du type Max(i,i)

2°) les termes du type Max(i,j) avec i j

Comme Max(i,j) = Max(j,i), on peut multiplier par 2 et ne prendre que les termes du type Max(i,j) avec i < j.

Alors, sous cette dernière hypothèse : Max(i,j) = j

donc : _i,j=1ⁿ Max (i,j) = _i=1ⁿ Max (i,i) + _i=1ⁿ Max (i,j) + _j=1ⁿ Max (j,i) = _i=1ⁿ Max (i,i) + 2 _i,j=1ⁿ Max (i,j) = _i=1ⁿ i + 2 _j=1ⁿ j    (car on a pris ji)

et si on prends ij , alors on obtient : _i,j=1ⁿ Max (i,j) = _i=1ⁿ i + 2 _i=1ⁿ i = 3 _i=1ⁿ i

c'est ca ?

Un tout petit détail la seconde somme commence à 2 :

la seconde somme commence a 2 car j>i et que i1 c'est ca ? (avec i,j )

donc  en fait, on a scindé la somme initial en deux, avec la première qui concerne i= j . pour cela, Max (i,j) = Max (i,i) = i , et i va de 1 a n.
Et la seconde somme concerne ji . et pour cela, on sépare encore cette somme en deux pour Max (i,j) et Max (j,i) et comme ces deux la sont égaux ca fait la somme de Max (j,i)= j .

et pour i j, c'est le meme raisonnement ?

j'ai bien compris ?

Voilà.

Termine maintenant le calcul que je t'ai donné.

[(3n(n+1))/2] - 2


pour le cas ou ij, quand on scinde la somme initiale en deux, la premiere somme que l'on obtient concerne le cas ou i=j, donc on peut garder "somme de Max (i,i) = i" ? ou on doit prendre Max (j,j) = j ?

et la seconde somme aura pour indice 1j<in=2 ?

Je ne comprends plus tes hésitations.

et bien, dans tout le raisonnement que tu m'as démontré, tu as pris ij . je voudrais savoir si c'est le meme raisonnement pour ji et si dans ce cas, on doit prendre max (i,i) ou max(j,j)

D'abord, j'ai pris i < j car le cas d'égalité est dans la somme précédente.

Ensuite, cela n'a pas d'importance de prendre i ou j.

Ce que tu n'as pas dû voir c'est :

si i < j alors Max(i,j) = j

si i > j alors Max(i,j) = i

ce que j'ai compris c'est que tu as pris le cas ou i=j (d'ou Max(i,i) ) et ensuite le cas ou ij . mais je ne comprends pas, en effet, quand est ce qu'intervient le cas ou ij .

est ce que tu vois mon problème ?

Je vois. Cela m'a permis de vérifier que la seconde somme contenait plus de termes que je le pensais.

J'ai trouvé un moyen simple de visualiser la question. On représente sous forme d'un tableau les différentes valeurs des termes de la somme :

je prends par exemple n = 5.

1 2 3 4 5
2 2 3 4 5
3 3 3 4 5
4 4 4 4 5
5 5 5 5 5

Sur la diagonale on a bien : 1 + 2 + ... + n

De part et d'autre de la diagonale, on retrouve les mêmes termes ce qui est normal puisque Max(i,j) = Max(j,i).

Nous ne garderons donc que la partie inférieure à condition de multiplier par 2.

2
3 3
4 4 4
5 5 5 5
On a donc :

12 + 23 + 34 + ... + (n-1)n

On peut l'écrire aussi :

1(1+1) + 2(2+1) + ... + (n-1)[(n-1)+1] = 1² + 2² + ... + (n-1)² + 1 + 2 + ... + (n-1)

Je pense que tu connais les sommes

1 + 2 + ... + N =

1² + 2² + ... + N² =

En définitive :



Après des calculs assez longs, on réduit :



J'ai testé cette formule pour n = 1, 2, 3, 4, 5. Elle donne chaque fois la même réponse que le calcul direct.

je t'avoue que la, tu m'as complètement perdue en chemin .

je ne comprends pas ton raisonnement par le tableau.

Tu es en terminale ou "au delà" ?

As-tu entendu parler de matrices ? Si oui, on représente la matrice de terme général : a_ij = Max(i,j)

je suis en prépa hec . mais on n'a as encore fait les matrices. on ne peut pas expliquer ce que tu vient de faire, mais en terme de sommes ?

En réalité, tu ajoutes tous les termes du tableau.

je ne pense vraiment pas pouvoir y arriver par cette méthode là.

est ce que tu pourrais me dire ou est ce que j'ai faux dans la résolution que j'ai faite et que j'ai donnée au départ ?

Impossible car à aucun moment on rencontre des factorielles.

Je suis persuadé qu'à la correction votre professeur va présenter les termes de la somme sous forme d'un tableau.

Je te propose une autre méthode de représentation de cette sommation.

Imagine un repère et les n² points M_ij de coordonnées (i,j) avec i et j compris entre 1 et n.

Au lieu d'écrire ces points, met à leur place Max(i,j). Pour n = 5 :


5 5 5 5 5
4 4 4 4 5
3 3 3 4 5
2 2 3 4 5
1 2 3 4 5

Tu dois donc trouver la somme de tous ces termes.

Combien de 5 ? : 9
combien de 4 ? : 7
.
.
.

Cas général :

Combien de n ? 2n - 1
Combien de (n-1) ? 2n - 3
.
.
.
Combien de 2 ? : 3
Combien de 1 ? : 1

On a donc :

S_n = (2n-1)n + (2n-3)(n-1) + ... + 3.2 + 1.1

je pense avoir un peu plus compris comme ca ... je vais essayer de refaire l'exercice. merci beaucoup
bonne soirée

Heureux d'avoir pu trouver une explication qui te convienne.

Bonne soirée également.