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Lieu d'un point, sphere, distance
Je n'arrive pas a comprendre le but de l'exercice pouvez-vous m'aider?
Dans un repère orthonormal (O;
;
;
), on donne les points A(2;-1;2) et B(-2;1;-2).
A tout point M(x;y;z), on associe le réel:
f(M)=MA²+MB².
1. Exprimer f(M) en fonction de x,y et z.
Je pense avoir la réponse à cette question:
f(M)=MA²+MB²
f(M)=(xA-xM)²+(yA-yM)²+(zA-zM)²+(xB-xM)²+ (yB-yM)²+(zB-zM)²
f(M)= 2x²+2y²+2z²+18.
Est-ce le bon calcul ? Comme on me demande d'exprimer f(M) en fonction de x,y et z que dois-je faire de 18?
2. Démontrez que l'ensemble des points M tels que f(M)=18 est réduit à un point.
Que représente ce point pour le segment [AB]?
Je pense qu'il faut que je montre que 2x²+2y²+2z² est un point mais je ne vois pas comment je peux le faire.
En faisant la figure sur un logiciel de géométrie, je me rend compte que le segment [AB] passe par l'origine du repère, cela doit-il etre signalé?
3. Démontrer que l'ensemble des points M tel que f(M)=30 est une sphère de centre O dont vous préciserez le rayon.
Je sais que l'équation de la sphère est: x²+y²+z²=R²
Mais comme je ne comprend pas le début de l'exercice je suis bloquée ici.
4. Démontrez que, sous reserve d'une condition sur le réel k, l'ensemble des points M tel que f(M)=k est une sphère de centre O.
Cette question m'est incompréhensible.
Merci de votre aide.
1) ta suestion 1 est juste, ne t'occupe pas du 18, on te demande juste de trouver une expression avec x, y, et z.
donc f(M) = 2 (x²+y²+z²) + 18
2) si f(M) = 18
alors 2 (x²+y²+z²) + 18 = 18
et 2 (x²+y²+z²) = 0
donc x²+y²+z² = 0
comme tu l'as dit ensuite, x²+y²+z² = R² est l'équation d'un cercle. Ici c donc le cas ! et R = 0. or un cercle qui a un rayon de 0 est ... un point : le centre !
pardon, x²+y²+z² = R² est l'équation d'une SPHERE de centre O(0,0,0) d'après la définition. La question suivante devrait t'être facile a faire maintenant !
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