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lieu d' un point . sphère . distance
bonjour j'ai un dm a rendre pour lundi et j'a i des soucis avec cet exercice:
Dans un repère orthonormal (O,i,j,k) ,on donne les points A(2;-1;2) et B(-2;1;-2)
A tout point M(x;y;z) , on associe le réel :
f(M)= MA²+MB².
1) Exprimer f(M) en fonction de x,y etz
2) démontrer que l' ensemble des points M tels que f(M)=18 est réduit a un point.Que représente ce point pour le segment AB ?
3)démontrez que l' ensemble des points M tel que f(M)=30 est une sphère de centre O dont vous préciserez le rayon
4) démontrer que , sous réserve d' une condition sur le réel k, l' ensemble des points M tels que f(M)=k est une sphère de centre O .
Je ne comprend rien a cet exercice ( normale puisque j' ai été absente durant la lecon ) . pouvez vous m' aider un peu svp
salut
1) Exprimer f(M) en fonction de x,y etz
f(M)= MA²+MB². et A(2;-1;2) et B(-2;1;-2)
MA²=(x-2)²+(y+1)²+(z-2)²
MB²=(x+2)²+(y-1)²+(z+2)²
à toi de developper et de determiner f(M)
je trouve MA²+MB²=(x-2)²+(y+1)²+(z-2)²+(y-1)²+(z+2)²
mais ce résultat me parait un peu long non ?
je vais développé avec les identité remarquables . je trouve : 2(x+y+z)²+18
est-ce ca ?
ok
2) démontrer que l' ensemble des points M tels que f(M)=18 est réduit a un point.Que représente ce point pour le segment AB ?
f(M)=18 et f(M)=2(x+y+z)²+18
3)démontrez que l' ensemble des points M tel que f(M)=30 est une sphère de centre O dont vous préciserez le rayon
f(M)=30 et f(M)=2(x+y+z)²+18
je comprend pas le raisonnement de ces 2 question , peut -tu m' expliquer stp
f(M)= MA²+MB².
=(x-2)²+(y+1)²+(z-2)²+(x+2)²+(y-1)²+(z+2)²
=x²-4x+4+y²+2y+1+z²-4z+4+x²+4x+4+y²-2y+1+z²+4z+4
=2x²+2y²+2z²+18
oui je sai , c' est ce que j' ai trouver mais quel rapport avec la question 2 et 3 ?
d'abord tu avait une erreure dans ton calcul
) démontrer que l' ensemble des points M tels que f(M)=18 est réduit a un point.Que représente ce point pour le segment AB ?
f(M)=18 et f(M)=2x²+2y²+2z²+18
donc 2x²+2y²+2z²+18=18
d'ou 2x²+2y²+2z²=0
d'ou x²+y²+z²=0 donc x=y=z=0 donc M a pour coordonnees (0,0,0)
ah ok merci et donc je suis le même raisonnement pour la question 3 ?
donc f(M)=18 est réduit a un point qui est o l'origine du repere
pour la question 3) je trouve : x²+y²+z²=6
quel rapport entre ce résultat et la sphère stp ?
c'est la sphere de centre O(0,0,0) de rayon r=
6
comment sait-on que c' est 0 le centre de la sphère et comment sait-on le rayon ?
je sais je dois etre ennuyante avec mes question mais j' aime mieux comprendre ce que je fais au lieu d' écrire bètement la réponse
par contre , tu écrit que c'est la même démonstration pour la 4) , mais la 4) je la comprend pa du tout , tu peux m' aider stp
l'eqution d'une sphere de centre 
(a,b,c) et de rayon r est (x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=r²
4) démontrer que , sous réserve d' une condition sur le réel k, l' ensemble des points M tels que f(M)=k est une sphère de centre O
f(M)=k et f(M)=2x²+2y²+2z²+18
donc 2x²+2y²+2z²+18=k
x²+y²+z²=k-18
si k-18
0 l'ensemble est la sphere de centre O et de rayon r=(k-18)
il faut que k18
le résultat de l' équation n 'est pas (k-18)/2
(car il y a le 2 devant x , y z) ?
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