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lignes de niveau
bonjour je suis vraiment nulle en produit scalaire pourriez vous m'aider svp:
Soit un triangle équilatéral ABC de côté a. Déterminer et tracer l'ensemble des points M du plan vérifiant
a / MA^2 + MB^2 + 2MC^2= 3a^2
b/ MA^2 + MB^2 - 2MC^2 = 0
merci d'avance pour votre aide
bonjour je suis vraiment nulle en produit scalaire pourriez vous m'aider svp
soit un triangle équilatéral ABC de côté a. Déterminer et tracer l'ensemble des points M du plan vérifiant:
a/ MA² + MB² + 2MC² =3a²
B/ MA² + MB² - 2MC² = 0
merci d'avance
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pour a):essaye le théorème de la médiane, en deux étapes, en introduisant les milieux des sgments concernés; d'abord pour calculer MA²+MB², puis tu le remplaces dans MA²+MB²+2MC², et tu recommences avec le théorème de la médiane.
pour b: même théorème.
Applique le théorème de la médiane, en deux étapes pour la questions a.
Même théorème pour b.
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Bonsoir
Pour le a) utilise le barycentre G des points (A,1), (B,1), (C,2).
Tu vas obtenir :
c'est-à-dire :
4 GM² = 3a²-GA²-GB²-2GC²
On peut poursuivre de plusieurs manières, par exemple en calculant GA², GB² et GC² ; je t'en propose une autre :
on obtient : GM² = Constante
Donc l'ensemble cherché est soit l'ensemble vide (si la constante est strictement négative), soit réduit au singleton {G} (si la constante est nulle), soit un cercle de centre G (si la constante est strictement positive).
or tu peux remarquer que A appartient à l'ensemble (en effet : AA²+AB²+2AC²=3a²)
donc l'ensemble cherché est le cercle de centre G et contenant A. (il contient également B)
mais tu peux adopter la méthode consistant à calculer GA², GB² et GC².
Sauf erreur
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merci mais je comprends pas comment on passe de la ligne 1 à 2
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en développant, puis en regroupant les termes où figure tu obtiens la ligne 2
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j'essaie de bien tout développer mais j'y arrrive pas
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comment faire la méthode de calcul de GA² GB² et GC² svp
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Bonjour
"j'essaie de bien tout développer mais j'y arrrive pas "
Pourrais-tu détailler ton calcul ?
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c'est bon j'y suis arrivé pour le 1 mais pour le deux j'ai refait de la même façon et je n'ai plus de MG² apès le développement, ça veut dire M est en G ?????
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j'veux juste savoir si ma réponse est bonne pour la 2
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j'y comprend plus rien là est ce que pour le 1 le cntre c'est G ? contient il C ???
a) Je te propose le théorème de la médiane:
soit I le milieu de [AB] alors d'après le théorème de la médiane: MA² +MB² = 2MI² + 1/2AB², avec AB = a, on obtient: MA² +MB² = 2MI² +a²/2; alors MA² + MB² +2MC² =2MI² +2MC²+a²/2 .
On applique de nouveau le théorème de la médiane, avec G milieu de [IC], d'où: MI²+ MC² = 2MG² + 1/2IC².
On calcule IC,hauteur d'un triangle équilatéral de côté a, donc IC = a
3/2, en remplaçant: MI² + MC² = 2MG² +3a²/8.
or, MA² +MB² +2MC² = 2(MI² +MC²) + a²/2, d'où:MA² +MB² +2MC² = 4MG² +3a²/4+a²/2
MA² +MB² +2MC² = 4MG² + 5a²/4.
MA² + MB² +2MC² = 3a² 
4MG² + 5a²/4= 3a²4MG² = 7a²/4MG = a/4. L'ensemble des points M est le cercle de centre G et de rayon a/4. On peut remarquer que G étant le milieu de [CI] avec I milieu de [AB], G est le barycentre de (A, 1), (B,1) et (C,2).
b)
pour le a j'avais trouvé que c'etait le cercle de rayon GA de centre G,l'ensemble des points M c'est pas bon
pour b c'est le cercle de centre G et de rayon racine 5/ 4 ???
b) MA²+MB²-2MC²= 02MI²+a²/2-2MC² = 0MC²-MI² = a²/4.
Ensuite tu mets en vecteurs et tu factorises par l'identité remarquable:
²-
=(-
)(+). On obtient: (vectMC - vectMI)(vectMC+vectMI)=a²/4.
Or, G est le milieu de [CI], donc vectMC+vectMI = 2vectMG etd'autre part vectMC - vectMI = vectIC.
on a alors:MA²+MB²-2MC²= 0 vectMG.vectIC= a²/8.
On cherche d'abord un point M, noté H qui vérifie cette condition,soit:vectHG.vectIC = a²/8 et qui appartient à la droite (IC),c'est-à-dire tel qu'il existe un réel k tel que vectHG = kvectIC
Cela revient à déterminer k tel que: kvectIC.vectIC= a²/8. Or vectIC.vectIC=IC²et IC² = 3a²/4, donc on cherche k tel que: k*3a²/4 = a²/8. On trouve k = 1/6.
On construit H tel que vectHG = 1/6vectIC.
On a les équivalences suivantes:
MA²+MB²-2MC²= 0 vectMG.vectIC=vectHG.vectIC
(vectMG-vectHG).vectIC=0vectvectMH.vectIC= 0
L'ensemble des points M est la droite orthogonale à (IC)passant par H.
pour le a) c'est bien le même cercle: le cercle de centre G passant par A a pour rayon de centre G et de rayon a7/4. Pour t'en convaicre tu n'as qu'à calculer GA (Pythagore dans le triangle AGI rectangle en I, avec I milieu de [AB]:
GA² = AI² + IG² =(a/2)²+(a3/4)²=3a²/16 + a²/4 = 7a²/16, donx GA = a7/4.
pour le a) c'est bien le même cercle: le cercle de centre G passant par A a pour rayon a7/4. Pour t'en convaicre tu n'as qu'à calculer GA (Pythagore dans le triangle AGI rectangle en I, avec I milieu de [AB]:
GA² = AI² + IG² =(a/2)²+(a3/4)²=3a²/16 + a²/4 = 7a²/16, donx GA = a7/4.
j'ai recalculé et je tombe sur GB= a racine de 3 /4???
merci mais comment fait on la représentation de l'ensebledes points M pour la question b svp?
pour représenter l'ensemble des points de la question b il faut placer le point H tel que:
vectHG = 1/6vectIC, c'est facile, puis de tracer la droite perpendiculaire en H à (IC). Cette droite est l'ensemble des points que tu cherches.
Pour le calcul de GB c'est pareil que pour GA et ça donne (sauf erreur de ma part)
(a7)/4
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