Niveau Maths sup

lim d'une suite de la forme f(un)=un+1

Posté par
Newlo 15-11-09 à 12:14

bonjour, j'ai cette suite: f(un)=u_n+1

on me dit:
on suppose ici qu'il existe l, valeur absolue(f(x)-l)k(valeur absolue((-l)), avec 0k<1

montrer que pour tout uo, lim un = l.

j'ai essayé de remplacer un par u0 dans la formule, mais je ne vois pas comment continuer après
merci pour votre aide

Posté par re : lim d'une suite de la forme f(un)=un+1 15-11-09 à 12:40

Posté par re : lim d'une suite de la forme f(un)=un+1 15-11-09 à 12:52

si... le x ^^
oublié

enfin, je veux bien démontrer ça, mais je ne vois en quoi ça réponds à ma question...

Posté par re : lim d'une suite de la forme f(un)=un+1 15-11-09 à 12:57

Tu as:

$0\leq |u_n-\ell|\leq k^n|u_0-\ell|$

Or avec $0\leq k<1$ , $\lim_{n\to +\infty}k^n|u_0-\ell|=0$ ...

Posté par re : lim d'une suite de la forme f(un)=un+1 15-11-09 à 13:02

ok

mais j'y arrive pas avec Pn+1 à montrer dans la récurrence
coment puis-je faire?

Posté par re : lim d'une suite de la forme f(un)=un+1 15-11-09 à 13:13

On a donc avec $x=u_n$ : $|u_{n+1}-\ell|\leq k|u_n-\ell|$ (1)

Soit à démontrer par récurrence la propriété $P_n$ :

$\forall n\in\mathbb{N}$ , $|u_n-\ell|\leq k^n|u_0-\ell|$ .

Je passe sur l' initialisation.

Pour l' hérédité:

On suppose que $P_n$ est vraie pour un certain rang $n$ fixé:

c' est à dire: $|u_n-\ell|\leq k^n|u_0-\ell|$ .

Alors $|u_{n+1}-\ell|\leq k|u_n-\ell|$ avec (1)

Puis en utilisant l' hypothèse de récurrence:

$|u_{n+1}-\ell|\leq k^{n+1}|u_0-\ell|$

Et l' hérédité est prouvée.

Posté par re : lim d'une suite de la forme f(un)=un+1 15-11-09 à 13:24

ok pour l'explication, merci

mais, au fait, comment en es-tu arrivé à ta propriété, juste en voyant l'énoncé, quelle a été ta démarche ?
histoire que j'arrive à refaire pareil en DS ^^

merci

Posté par re : lim d'une suite de la forme f(un)=un+1 15-11-09 à 13:33

Il existe beaucoup d' exercices de Terminale où cette question figure avec $f$ et $0\leq k<1$ donnés.

Il suffisait de faire une petite généralisation.

Il n' y a pas de mystère, pour progresser, il faut faire beaucoup d' exercices (une fois le cours appris); c' est comme ça qu' on a de bons réflexes...

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