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Limite

Posté par
Ikkit 31-01-09 à 18:18

Bonsoir à tous.

Voilà dans mon DM, on me demande de donner les limites en 0,1 et +\infty de :

\frac{ln(|\frac{a-1}{ln(a)}|)}{ln(a)}

J'ai essayé de transformer l'expression en :

\frac{ln(|a-1|)-ln(|ln(a)|)}{ln(a)}

Mais j'ai du mal à aboutir à une forme plus simple et le résultat est important puisqu'il me servira dans la suite de mon DM.

Merci d'avance à ceux qui m'aideront.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Limite 31-01-09 à 18:40

Bonjour,

Limite en +oo

5$\frac{\ln\left|\frac{x-1}{\ln(x)}\right|}{\ln(x)} = \frac{\ln(x-1)}{\ln x} - \frac{\ln(\ln x)}{\ln x}
5$\frac{\ln\left|\frac{x-1}{\ln(x)}\right|}{\ln(x)} = \frac{\ln\left(x\left(1-\frac{1}{x}\right)\right)}{\ln x} - \frac{\ln(\ln x)}{\ln x}
5$\frac{\ln\left|\frac{x-1}{\ln(x)}\right|}{\ln(x)} = 1+\frac{\ln\left(1-\frac{1}{x}\right)}{\ln x} - \frac{\ln(\ln x)}{\ln x}

Le 2ème terme tend vers 0.

Le 3ème terme tend vers 0 puisque ln(X)/X tend vers 0 en +oo

Donc le tout tend vers 1.

Sauf erreur.

Posté par
veledare : Limite 31-01-09 à 18:41

bonjour,
en +oo (on peut ne pas mettre les valeurs absolues)
avec ta seconde forme
\frac{ln(a-1)}{lna}-\frac{ln(ln(a))}{lna}
tu écrisln(a-1)=ln(a)+ln(1-\fra{1}{a})tu en déduis facilement la limite du premier rapport en +oo
pour le second il est de la forme \frac{ln(u)}{u}avec u=lna->+\infty

Posté par
veledare : Limite 31-01-09 à 18:43

bonsoir nicolas
j'ai une minute de retard

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Limite 31-01-09 à 18:43

Bonsoir veleda !

Posté par
veledare : Limite 31-01-09 à 18:45

je te laisse continuer

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Limite 31-01-09 à 18:54

Limite en 0+

5$\frac{\ln\left|\frac{x-1}{\ln(x)}\right|}{\ln(x)} = \frac{\ln(1-x)}{\ln x} - \frac{\ln(-\ln x)}{\ln x}

Le 1er terme tend vers 0.

Le 2ème terme tend vers 0 (en utilisant la limite de ln(X)/X en +oo)

Donc le tout tend vers 0.

Sauf erreur.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Limite 31-01-09 à 19:00

Limite en 1.

On se ramène à la limite en 0 de 5$\frac{\ln\left|\frac{x}{\ln(x+1)}\right|}{\ln(x+1)}

Entre les valeurs absolues, on reconnaît un taux de variation : les valeurs absolues tendent vers 1.
La forme reste indéterminée (ln1/ln1).
Alors que les deux autres limites ne nécessitaient que des outils de Terminale, celle-ci semble plus corsée.
Développements limités ?

Posté par
Ikkitre : Limite 31-01-09 à 19:21

Tout d'abord merci beaucoup pour ton aide (et aussi veleda).

Pour la limite en 1, tu suggères les développements limités et puisque notre dernier chapitre porte justement sur ça, il ne me parait pas inutile d'explorer cette voie....
Avec la dernière forme obtenue, je pense pouvoir me débrouiller.

Encore merci et bonne soirée.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Limite 31-01-09 à 19:24

A coups de développements limités, je trouve 1/2.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Limite 31-01-09 à 19:24

Je t'en prie.

Posté par
Ikkitre : Limite 31-01-09 à 19:30

Oui c'est bien ça. Sur la calculatrice je trouve également 1/2.
A moi de jouer maintenant.


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