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Limite, asymptotes, dérivée
Bonjour j'aimerais que vous m'aidiez, me dire déja si j'ai bon au début puis m'aider pour une question par la suite. Les question ne seront pas détailler au maximum.
Soit f la fonction définie sur R-{1} par f(x) =(-x²-2x+5)/(1-x). On note (C) sa courbe réprésentative dans un repère orthonormé (O;
;
) du plan.
1) Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
lim f(x)=+oo lim f(x)= -oo lim f(x)=+oo lim f(x)=-oo
x-->+oo x-->-oo x-->1- x-->1+
2)a) Démontrer qu'il existe 3 réels a, b, c tels que pour tout x de R-{1}, on ait:
f(x)= ax+b+(c/(x-1))
a=1 b=3 c=-2
b)Etudier el sens de variation de f et dresser son tableau de variation.
f'(x)=(x²-2x+3)/(1-x)²
x -oo 1 +oo
x²-2x+3 +
(1-x)² + | +
f(x) -oo(croissant)+oo||-oo(croissant)+oo
3) Démontrer que (C) admet deux asymptotes que l'on déterminera.
Assymptote oblique y=x+3 en - et + l'infini et une assymptote vertical x=1
4) Soit d la fonction définie sur R-{1} par d(x)=f(x)-(x+3)
a) Etudier le signe de d(x) sur R-{1}. Interpréter graphiquement les résultats obtenus
d(x)=2/(1-x) d'(x)=2/(1-x)²
lim d(x)=0 lim d(x)=0 lim d(x)=+oo lim d(x)=-oo
x-->+oo x-->-oo x-->1- x-->1+
x -oo 1 +oo
(1-x)² + | +
d(x) 0(croissant)+oo||-oo(croissant)0
b) Résoudre dans R-{1 l'inéquation d(x)}
0.1. Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
Ici je détaille car je ne suis pas sur de la présentation.
d(x)0.1
2/(1-x)0.1
(1.9+0.1x)/(1-x)0
x-1.9/0.1 = -19
S=]-oo;-19]
5) Démontrer que le points I(1;4) ets unc entre de symétrie de (C).
6) Tracer (C) et ses asymptotes.
Voila c'est fini, je voudrais de l'aide au niveau de la question:
- 4)a)b) quand il di interpréter graphiquement que faut-il faire?
- Et la question 5)
Merci d'avance
Bonsoir Sephi. J'ai regardé ton problème. Tout cela me paraît très bon.
Tu n'as pas répondu complétement à la question 4a, où l'on te demandait le signe de d (x). Ce n'était pas nécessaire de faire intervenir d'(x), pour prouver que d est positif pour x < + 1 et négatif pour x > +1 . D'où la position de la courbe par rapport à l'asymptote (écris asymptote avec un seul "s").
Interprétation graphique : courbe au-dessus de cette asymptote, pour x < +1; en-dessous pour x > +1 .
Question (5 ) : Pour une courbe ayant son centre de symétrie en 0, on a : y --> -y, quand x --> -x.
Ici, en faisant un changement de coordonnées (x --> x+1, y --> y+4), on obtient l'équation : y = (x² - 2 )/ x , qui a son centre de symétrie en (0; 0)
Cela te convient ? J-L
Bonjour, euh oui mais je ne comprend pas pourquoi on doit remplacer x par x+1 et y par y+4 (je sais que 1 et 4 viennent des coordonnées) mais pourquoi?
Bonjour. Si tu essayais de faire ce que je te propose, cela t'éclairerait et tu verrais vite pourquoi...
En construisant le graphe, on "voit" cette symétrie, et on suppose que le centre de symétrie est le point d'intersection des 2 asymptotes (1; 4).
Et l'on se dit :si je faisais un changement de coordonnées en prenant ce point comme nouvelle origine des coordonnées, ma nouvelle équation me montrerait (peut-être) que la courbe est symétrique par rapport à la nouvelle origine...
Et l'on fait la changement de variables, et l'on constate que la nouvelle fonction est effectievement symétrique par rapport au point (1;4).
Mais comme toujours, il faut essayer " si ça marche ?... c'est pas du tout cuit !" J-L
Ok ok, merci. Je vien de remplacer x et y par les autre valeur je trouve bien comme toi (x²-2)/x.
Rectifie moi si je me trompe, donc après je prend 1 comme valeur de x (vu que c'est el point I qui ns intéresse) et comme l'image de 1 est -1 (son opposé)donc la courbe (C) est bien symétrique par raport à ce point (I) c'est sa?
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