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Limite d'une suite avec une somme

Posté par
TheDoci 28-01-09 à 00:12

Hello

J'ai un problème avec un autre exo. Comme souvent, je bloque pour trouver la limite d'une somme

Voici l'énoncé :
3$u_n = \Bigsum_{k=1}^n \frac{1}{n + k} avec n 1
Montrer que \lim_{n\to +\infty} u_n = ln(2)

J'ai tenté, comme souvent, de voir ce que donne le théorème des gendarmes ici, mais ça ne donne rien.
J'ai aussi essayé de voir une décomposition en éléments simples mais pareil je ne trouve pas

Merci d'avance

Posté par
Nightmarere : Limite d'une suite avec une somme 28-01-09 à 00:13

resalut

3$\rm \frac{1}{n+k}=\frac{1}{n}\times \frac{1}{1+\frac{k}{n}}

On en déduit que 3$\rm u_{n}=\frac{1}{n} \Bigsum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+\frac{k}{n}}
C'est une somme de Riemann associée à la fonction 3$\rm x\to \frac{1}{1+x}.

On en déduit 3$\rm \lim_{n\infty} u_{n}=\Bigint_{0}^{1} \frac{dx}{1+x}=ln(2)

Posté par
TheDocire : Limite d'une suite avec une somme 28-01-09 à 13:24

Je ne comprends pas comment tu fais pour trouver cette intégrale.
En fait, en partant du principe que je ne connais pas les différentes suites (Riemann, etc), comment peut-on  arriver quand même au résultat ?

Posté par
Nightmarere : Limite d'une suite avec une somme 28-01-09 à 15:57

Tu n'as pas vu les sommes de Riemann en cours?

Posté par
TheDocire : Limite d'une suite avec une somme 28-01-09 à 15:57

Le prof nous en a parlé mais ne s'est pas attardé dessus. D'ailleurs je n'ai rien à ce sujet dans mon cours

Posté par
TheDocire : Limite d'une suite avec une somme 28-01-09 à 19:53

Quelqu'un a-t-il une idée svp ?

Posté par
Nightmarere : Limite d'une suite avec une somme 28-01-09 à 19:56

Pour le moment je ne vois pas d'autres solutions que passer par les sommes de Riemann (qui est d'ailleurs la plus simple des solutions ici)

Posté par
TheDocire : Limite d'une suite avec une somme 28-01-09 à 20:12

ok, donc tant pis, je vais quand même l'utiliser.
Je suis allé faire un tour sur wikipedia pour voir ce que c'est, et j'ai donc, si je ne me trompe pas :

3$u_n = \frac{1}{n} \Bigsum_{k=1}^n \frac{1}{1 + \frac{k}{n}}

3$\lim_{n\to +infty} u_n = \Bigint_0^1 \frac{1}{1 + \frac{k}{n}} dk

Et là je dois me planter (comme d'hab') pour calculer la primitive de 3$\frac{1}{1 + \frac{k}{n}} = \frac{n}{n + k}
Je trouve que c'est ln(k)
Mais c'est sûr que c'est pas ça, puisque ça me ferait ln(1) - ln(0), or ln(0) n'existe pas

Posté par
Nightmarere : Limite d'une suite avec une somme 28-01-09 à 20:15

Euh je ne comprends pas pourquoi 1/(1+x) dans ton intégrale ...

Posté par
TheDocire : Limite d'une suite avec une somme 28-01-09 à 20:19

Sur wikipedia j'ai lu que quand on a S_n = \frac{b-a}{n} \Bigsum_{k=1}^n f(x_k)
On peut le mettre sous cette forme :
\lim_{n\to +\infty} S_n = \Bigint_a^b f(t) dt

Posté par
Nightmarere : Limite d'une suite avec une somme 28-01-09 à 20:22

Oui, donc 3$\rm \lim_{n\infty} u_{n}=\Bigint_{0}^{1} \frac{1}{1+x}dx

Posté par
TheDocire : Limite d'une suite avec une somme 28-01-09 à 20:24

Euh ben là je comprends pas pourquoi 1/(1+x)
Il sort d'où ? Moi ce que j'ai dans ma somme c'est pas ça

Posté par
TheDocire : Limite d'une suite avec une somme 29-01-09 à 13:20

Up please

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Limite d'une suite avec une somme 29-01-09 à 19:13

Bonjour Nightmare

On peut faire autrement de la manière suivante :

Pour tout p\in\mathbb{N}^* et pour tout t\in[p,p+1] on a \frac{1}{p+1}\le\frac{1}{t}\le\frac{1}{p}

d'où en intégrant sur [p,p+1] , 4$\blue\fbox{\frac{1}{p+1}\le\ell n(p+1)-\ell n(p)\le\frac{1}{p}}

en sommant l'inégalité de gauche de p=n à p=2n-1 on a \frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}\le\ell n(2n)-\ell n(n)

c'est à dire 3$\fbox{\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}\le\ell n(2)} pour tout n\ge1

et en sommant l'inégalité de droite de p=n+1 à p=2n on a \ell n(2n+1)-\ell n(n+1)\le\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n}

c'est à dire 3$\fbox{\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}\ge\ell n(\frac{2n+1}{n+1})} pour tout n\ge1

et on appelle les gendarmes

Posté par
TheDocire : Limite d'une suite avec une somme 29-01-09 à 20:21

Oki merci
Mais maintenant que j'ai vu la somme de Riemann et que ça a l'air plus facile, pouvez-vous me le détailler svp ? (Je ne comprends notamment pas pourquoi on intègre 1/(1+x) alors qu'on a 1/(1+(k/n))

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Limite d'une suite avec une somme 29-01-09 à 22:06

C'est du cours :

Si f : [a,b]\to\mathbb{R} est continue alors 3$\fbox{\int_a^bf(x)dx=\lim_{n\to+\infty}\;\frac{b-a}{n}\Bigsum_{k=1}^nf\left(a+\frac{k(b-a)}{n}\right)}

Posté par
TheDocire : Limite d'une suite avec une somme 29-01-09 à 22:39

Merci, mais comme je l'ai dis je ne l'avais pas


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