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Limite de fonctions avec des racines

Posté par
TheMax 19-10-06 à 15:19

Bonjour j'ai 2 fonctions ou je dois étudier la limite, et je coince un peu pouvez vous m'aider? merci beaucoup.

Il y a 2 fonctions. Pour chacune il faut étudier la limite en 0  ; 1 et +

4$ f(x) = \frac {\sqrt{36+x^2}-6}{\sqrt{16+x^2}-4}


4$ g(x)=5$ \frac {\sqrt[6]{x+1}-\sqrt[6]{1-x}}{\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{1-x}}

Merci de me mettre aussi les détails du calcul.

Merci beaucoup de votre aide.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Limite de fonctions avec des racines 19-10-06 à 15:21

Bonjour,

Les méthodes ci-dessous permettent de lever la plupart des indéterminations vues au lycée. Il peut arriver qu'il soit nécessaire d'en combiner plusieurs, ou encore que plusieurs permettent indépendamment de résoudre l'exercice.

(1) factoriser le numérateur et le dénominateur par le terme de plus haut degré

Quand 3$x\to +\infty, 3$\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=\frac{|x|}{x}\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{1}\to 1

(2) [à condition d'avoir déjà vu en cours la notion de dérivée] reconnaître le taux d'accroissement d'une fonction

Quand 3$x\to 0, 3$\displaystyle\frac{\cos{x^2}-1}{x^2}=\frac{\cos{x^2}-\cos 0}{x^2-0}\to \cos '0=-\sin 0=0

(3) multipler par la quantité conjuguée (surtout en cas de racines)

Quand 3$x\to +\infty, 3$\sqrt{x^2+1}-x=\frac{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)}{\sqrt{x^2+1}+x}=\frac{x^2+1-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}\to 0

(4) dans le cas de la limite en un réel d'une fraction de polynômes, factoriser numérateur et dénominateur

Quand 3$x\to 1, 3$\frac{x^4+x^3-2}{x^3+x^2-2}=\frac{(x-1)(x^3+2x^2+2x+2)}{(x-1)(x^2+2x+2)}=\frac{x^3+2x^2+2x+2}{x^2+2x+2}\to\frac{7}{5}

(5) utiliser les formules trigonométriques

Quand 3$x\to 0, 3$\frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)-\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}{x}=\frac{2\cos\frac{\pi}{4}\sin x}{x}\to\sqrt{2}
Remarque : sur cet exemple, on aurait également pu utiliser la méthode (2).

(6) reconnaître une limite connue

Quand 3$x\to +\infty, 3$x^2\sin{\frac{2}{x^2}}=2\frac{\sin{\frac{2}{x^2}}}{\frac{2}{x^2}}\to 2

Exemples de limites connues :
3$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1, 3$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}, 3$\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln x}{x}=0, 3$\lim_{x\to 0^+}x\ln x=0

(7) [hors programme] Règle de L'Hospital
Théorème. Soit a un point d'un intervalle I non réduit à a. Soient f et g deux fonctions définies sur I\setminus\{a\} (et même éventuellement sur I tout entier mais ce n'est pas indispensable) et dérivables en tout point de l'intérieur de I\setminus\{a\}. Si :
(i) f et g tendent toutes deux vers 0 ou toutes deux vers l'infini en a, et
(ii) g' ne s'annule pas sur I\setminus\{a\},
alors il existe un voisinage V de a tel que g ne s'annule pas sur V\cap I\setminus\{a\}, et, sous réserve d'existence de la limite de droite :
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
Dans le cas où a serait l'extrémité gauche (resp. droite) de I, ces deux limites sont à entendre comme des limites à droite (resp. à gauche).
(merci à Tigweg pour l'aide précieuse apportée à la formulation de ce théorème )

Nicolas

Posté par
TheMaxre : Limite de fonctions avec des racines 19-10-06 à 15:31

Merci beaucou pour la rapidité, mais cela ne m'aide pas beaucoup. pour la premiere, j'arrive juste à inverser la fraction et changer les signes, et la deuxieme, j'y arrive toujours pas!

merci quand meme

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Limite de fonctions avec des racines 19-10-06 à 15:35

Utilise (1) pour f en +oo

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Limite de fonctions avec des racines 19-10-06 à 15:39

la limite de f en 1 n'est p

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Limite de fonctions avec des racines 19-10-06 à 15:40

La limite de f en 1 n'est pas une forme indéterminée !

Posté par
TheMaxre : Limite de fonctions avec des racines 19-10-06 à 15:40

Abon? ça fait pas 0/0 ?

Posté par
TheMaxre : Limite de fonctions avec des racines 19-10-06 à 15:41

j'ai 3/2 pour f en +oo

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Limite de fonctions avec des racines 19-10-06 à 15:46

En 1, cela ne fait pas 0/0. Poste tes calculs si tu souhaites une correction.

En +oo, cela ne fait pas 3/2. Poste tes calculs si tu souhaites une correction.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Limite de fonctions avec des racines 19-10-06 à 15:47

Limite de f en 0 : reconnaître un double-taux d'accroissement (méthode (2) à adapter).

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Limite de fonctions avec des racines 19-10-06 à 15:49

La limite de g en 1 n'est pas une forme indéterminée !

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Limite de fonctions avec des racines 19-10-06 à 15:50

La limite de g en +oo n'existe pas puisque g n'est pas définie pour x > 1 !

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Limite de fonctions avec des racines 19-10-06 à 15:51

Limite de g en 0 : reconnaître un double-taux d'accroissement (méthode (2) à adapter).

Posté par
TheMaxre : Limite de fonctions avec des racines 19-10-06 à 15:58

ok je récapépet'.

4$ \lim_{x\to +\infty} f(x)=5$\lim_{x\to +\infty} \frac{|x|\sqrt{\frac{36}{x^2}+1}-6}{|x|\sqrt{\frac{16}{x^2}+1}-4}


je simplifie par |x| et j'obtiens (-6)/(-4) soit 3/2

et la limite en 1 donne 3$ \frac{\sqrt{37}-6}{\sqrt{17}-4}

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Limite de fonctions avec des racines 19-10-06 à 15:59

Il faut en effet simplifier par |x| qui est en fait égal à x (car on étudie la limite en +oo, donc on peut supposer x > 0). Cela fait apparaître des 6/|x| et 4/|x|.

Posté par
TheMaxre : Limite de fonctions avec des racines 19-10-06 à 16:02

ah oui j'avais oublié qu'il y avait une 2eme partie (le -6 et le -4)

la limite en +oo est 1

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Limite de fonctions avec des racines 19-10-06 à 16:03

Exact.

Posté par
TheMaxre : Limite de fonctions avec des racines 19-10-06 à 16:03

bon j'attaque la limite de f en 0

Posté par
TheMaxre : Limite de fonctions avec des racines 19-10-06 à 16:09

J'avour que le taux d'accroissement est un peu loin. je suis pas vraiment sur. pour l'instant j'ai ça, je sais pas si c'est comme cela qu'il faut partir.

4$ f(x)=\frac {\sqrt{36+x^2}-6}{\sqrt{16+x^2}-4}=\frac {\sqrt{36+x^2}-\sqrt{36}}{\sqrt{16+x^2}-\sqrt{16}}

je sais j'ai rien fait d'extra mais bon, je nage un peu. autant avec les cos je vois mieux dans l'exemple proposé, mais là rien.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Limite de fonctions avec des racines 19-10-06 à 16:11

4$%20f(x)=\frac%20{\sqrt{36+x^2}-6}{\sqrt{16+x^2}-4}=\frac%20{\sqrt{36+x^2}-\sqrt{36}}{\sqrt{16+x^2}-\sqrt{16}}=\frac{\frac{\sqrt{36+x^2}-\sqrt{36}}{x}}{\frac{\sqrt{16+x^2}-\sqrt{16}}{x}}\to ?

Posté par
TheMaxre : Limite de fonctions avec des racines 19-10-06 à 16:20

euuuhh... peut etre:

\frac{1}{2\sqrt{36}}\time 2\sqrt{16} ce qui fait 2/3 apres simplification? si c'est pas sa je vois vraiment pas.

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Limite de fonctions avec des racines 19-10-06 à 16:20

[V(36+x²)-6]/[V(16+x²)-4] = [V(36+x²)-6][V(16+x²)+4]/[(V(16+x²)-4).(V(16+x²)+4)]

[V(36+x²)-6]/[V(16+x²)-4] = [V(36+x²)-6][V(16+x²)+4]/(16+x²-16)

[V(36+x²)-6]/[V(16+x²)-4] = [V(36+x²)-6][V(16+x²)+4]/x²

[V(36+x²)-6]/[V(16+x²)-4] = [V(36+x²)-6][V(16+x²)+4].[V(36+x²)+6]/[x².(V(36+x²)+6)]

[V(36+x²)-6]/[V(16+x²)-4] = (36+x²-36)[V(16+x²)+4]/[x².(V(36+x²)+6)]

[V(36+x²)-6]/[V(16+x²)-4] = x²[V(16+x²)+4]/[x².(V(36+x²)+6)]

[V(36+x²)-6]/[V(16+x²)-4] = (V(16+x²)+4)/(V(36+x²)+6)

lim(x-> 0) [V(36+x²)-6]/[V(16+x²)-4] = lim(x->0) [(V(16+x²)+4)/(V(36+x²)+6)] = 8/12 = 2/3
-----
Sauf distraction.  

Posté par
TheMaxre : Limite de fonctions avec des racines 19-10-06 à 16:23

j'avais fait la meme chose que JP à un moment mais je pensait pas que c'etait bon.merci JP pour cette correction (pas facile à comprendre) j'attend néanmoins la réponse de Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Limite de fonctions avec des racines 19-10-06 à 16:25

Je t'ai déjà donné 1 indice. A toi de conclure. En reconnaissant 2 taux de variation.

Posté par
TheMaxre : Limite de fonctions avec des racines 19-10-06 à 16:27

la réponse que j'ai marquée à 16.20 est est exacte?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Limite de fonctions avec des racines 19-10-06 à 16:30

Pardon. Je n'avais pas vu. C'est bien cela.
Je corrige une faute de frappe dans mon message :
4$%20f(x)=\frac%20{\sqrt{36+x^2}-6}{\sqrt{16+x^2}-4}=\frac%20{\sqrt{36+x^2}-\sqrt{36}}{\sqrt{16+x^2}-\sqrt{16}}=\frac{\frac{\sqrt{36+x^2}-\sqrt{36}}{\fbox{x^2}}}{\frac{\sqrt{16+x^2}-\sqrt{16}}{\fbox{x^2}}}\to%20?

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Limite de fonctions avec des racines 19-10-06 à 16:33

En contre-temps.

Le plus rapide est l'utilisation de la règle de Lhospital, mais c'est interdit car non vu en Terminale.

Hypocritement, on utilise les "taux de variation" ce qui n'est qu'une manière déguisée d'utiliser la règle du Marquis (de LHospital) sans le dire.

lim(x-> 0) f(x) est de la forme 0/0 --> On applique la règle de Lhospital:

lim(x-> 0) f(x) = lim(x->0) [(x/V(36+x²))/(x/(V(16+x²))]
lim(x-> 0) f(x) = lim(x->0) [(V(16+x²)/V(36+x²)] = 4/6 = 2/3

Vive le Marquis.  

Posté par
TheMaxre : Limite de fonctions avec des racines 19-10-06 à 16:37

Pour répondre à JP, je ne suis plus en terminale mais en Licence, et je n'ai pas vu cette notion. j'ai posté ici, parce que c'est du niveau terminale.

pour répondre à Nicolas:

oui c'est bien ce qu'il me semblait (pour l'erreur de frappe) mais comme c'est une notion que j'ai pas bien assimilé j'ai préféré rien dire!.

pour g, la limite en 1 est 4$ \frac{\sqrt[6]{2}}{\sqrt[3]{2}}

que je simplifierai en 2^(-1/6) sans conviction

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Limite de fonctions avec des racines 19-10-06 à 16:39

Je proteste. Je ne suis pas hypocrite.
J'utilisais les taux de variation avant de connaître le Marquis, dont la démonstration cache des complications plus grandes que la simple définition du taux de variation.

Posté par
TheMaxre : Limite de fonctions avec des racines 19-10-06 à 16:40

euh sinon si on revenait à mon cas quelques minutes?

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Limite de fonctions avec des racines 19-10-06 à 16:43

Ca c'est vrai Nicolas, la démonstration rigoureuse de la règle du Marquis n'est pas évidente, cependant une fois faite, il n'est plus question de devoir la refaire à chaque fois... Pas plus qu'on ne redémontre le théorème de Pythagore chaque fois qu'on l'utilise.

Je n'ai jamais compris pourquoi les "soi-disants" mathématiciens réchignent à utiliser cette règle, c'est un outil génial, à utiliser à bon escient naturellement.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Limite de fonctions avec des racines 19-10-06 à 16:51

TheMax, ta calculatrice devrait te permettre de vérifier tes dernières questions.

Posté par
TheMaxre : Limite de fonctions avec des racines 19-10-06 à 16:58

oué je veux bien mais bon pendant les partiels c'est interdit les calto qui font ce genre de calcul. donc j'essaie de m'y mettre maintenant

juste pour info, j'ai un doute:est ce vrai?:

2^{\frac{1}{6}}=\sqrt[6]{2}


bon j'attaque g en 0.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Limite de fonctions avec des racines 19-10-06 à 17:01

Citation :
est ce vrai?

Oui.

Posté par
TheMaxre : Limite de fonctions avec des racines 19-10-06 à 17:03

j'en était quasi sur mais après quelques heures de maths, le doute plannait!

Posté par
TheMaxre : Limite de fonctions avec des racines 19-10-06 à 17:16

pour finir, la limite de g en 0 est 1?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Limite de fonctions avec des racines 19-10-06 à 17:19

Ce n'est pas ce que me dit mon traceur de courbes préféré...
Comment as-tu fait ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Limite de fonctions avec des racines 19-10-06 à 17:25

Soit h(x)=\sqrt[6]{x+1}-\sqrt[6]{1-x}
Soit j(x)=\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{1-x}

4$g(x)=\frac{\frac{h(x)-h(0)}{x}}{\frac{j(x)-j(0)}{x}}\to\frac{h'(0)}{j'(0)}=\frac{\frac{1}{6}+\frac{1}{6}}{\frac{1}{3}+\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}

Posté par
TheMaxre : Limite de fonctions avec des racines 19-10-06 à 17:28

j'ai essayé d'appliqué la loi du marquis:

4$ \lim_{x\to 0} g(x)=\frac{(x+1)^{\frac{1}{6}}-(1-x)^{\frac{1}{6}}}{(x+1)^{\frac{1}{3}}-(1-x)^{\frac{1}{3}}}

4$ \lim_{x\to 0} g(x)=\frac{(x+1)^{\frac{-5}{6}}+(1-x)^{\frac{-5}{6}}}{(x+1)^{\frac{-2}{3}}+(1-x)^{\frac{-2}{3}}}

ce qui me donne 2/2 soit 1

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Limite de fonctions avec des racines 19-10-06 à 17:30

Il manque des (1/6) et des (1/3) en facteur.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Limite de fonctions avec des racines 19-10-06 à 17:31

(x^q)' = q.x^(q-1)

Posté par
TheMaxre : Limite de fonctions avec des racines 19-10-06 à 17:47

ah ouiii, je les avais oublié, je trouve bien 1/2.

voila mes fonctions sont enfin battues, avec beaucoup de mal!!

merci à vous pour votre aide et à JP pour sa formule magique! merci!bonne soirée!

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Limite de fonctions avec des racines 20-10-06 à 07:28

Pour ma part, je t'en prie.

J-P, je suis entièrement d'accord avec ton message de 16h43.


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