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Limite de séries.
Bonjour! Voici un exercice dont je ne parviens pas à faire la moitié (en gras italique, ce que je n'arrive pas à faire):
Soit (xn)n
la suite définie par x0
0 et pour tout n, xn+1 = xn + 1/xn.
1) Montrer que pour tout n
, xn0 et que la suite (xn)n est strictement croissante et établir que xn 
+
quand n +.
2) Etablir que pour tout n
1:
x²n = x²0 + 2n +
n-1k=01/x²k.
En déduire que pour tout k
1: x²k2k.
3) Montrer que pour tout n
*:
n11/x dx 
nk=11/k n+111/x dx + 1.
En déduire que:
nk=11/k est équivalent à ln(n) quand n +.
Encadrer x²n et calculer alors la limite de x²n/n quand n
+.
En déduire la constante A telle que xn est équivalent à A
n quand n +.
4) Soit (yn)n
la suite définie par:
pour tout n
, yn = xn - An.
Démontrer que la suite (yn)n
admet une limite finie que l'on calculera.Merci d'avance!
Pour la 1ère tu as :
x_(k+1)^2 - x_k^2= 2+1/x_k^2 ( on élève au carré la relation du départ)
Tu sommes alors pour k variant de 0 à n d'où le résultat cherché
Tu encadres x_n^2 par :
à gauche : x_0^2+2n ( équivalent à 2n)
à droite par x_0^2+2n +som de k=1 à n de (1/(2k)) : c'est équivalant à 2n vu le résultat du 2
Tu en déduis : x_n^2/n tend vers 2
tu trouves :
y_n =(x_n^2-2n)/(x_n+sqrt(2)n)
on a :
x_n^2-2n = x_0^2+som(1/k) donc c'est équivalent à ln(n)
Le dénominateur est équivalent à 2sqrt(2)n
donc y_n tend vers 0
Pour la 1ère tu as :
x_(k+1)^2 - x_k^2= 2+1/x_k^2 ( on élève au carré la relation du départ)
Tu sommes alors pour k variant de 0 à n d'où le résultat cherché
Je n'ai pas compris d'où sort le "2" (en souligné) et ce que je dois sommer...
Sinon, pour le reste, j'ai compris. Merci beaucoup! ^^
tu élèves au carré (x_k+1/x_k)^2 = x_k^2+2+1/x_k^2=x_{k+1}^2 donc :
som(1/x_k^2) = 2n+som(x_(k+1)^2-x_k^2) les sommes étant de k=0 à n -1 donc
som(1/x_k^2= 2n-x_0^2+x_n^2
CQFD
@+
Comaths
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