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Limite en +infini d'une intégrale de borne sup n contenant n
Bonjour
Il y a une question dans un problème de préparation à l'agreg interne que je n'arrive pas à gérer.
On a montré précédemment que, pour tout réel x strictement positif, gamma(x) = est convergente.
On a aussi prouvé que pour tout x>0, gamma(x+1)=xgamma(x)
et que pour tout n entier strictement positif, gamma(n)=(n-1)!
On nous demande de prouver que, pour tout x strictement positif,
gamma(x) =
Je ne sais pas comment gérer ce n qui est à la fois borne de l'intégrale, variable de la limite, et contenu dans la formule de l'intégrale. J'ai essayé d'intégrer par partie sur [0,n] la différence Jn-In avec
In =
et Jn =
mais je n'aboutis pas.
si vous avez l'habitude de ce genre de choses, vous aurez sans doute des idées qui me font défaut. Merci d'avance.
salut
tu sais que exp(t)=limn->+inf(1+t/n)^n et tu peux permuter l'intégrale et la limite
... mais l'a-t-on aussi pour 1-t/n?
Merci pour ta réponse carpediem
N'y a-t-il pas des conditions à la permutation de l'intérgale et de la limite, genre convergence uniforme ou absolue ?
icçi il n'y a pas de pb (il me semble) car tu intégres sur [0,n] qui est fini donc les conditions (cv uniforme en particulier) doit être vérifiée...
enfin à vérifier 
ne serait-ce pas e-t plutôt dans ton intégrale d'ailleurs?
Oui, c'est bien exponentielle de (-t) mais j'ai oublié comment on prouve que la limite de (1-t/n)^n = exp(-t), même en passant la puissance sous forme exponentielle.
C'est vrai qu'il n'y a pas de problème pour intervertir limite et intégrale si l'intégrale n'est pas impropre.
Le cas où l'intérgale est impropre en 0 (x<1) me pose aussi des cas de conscience.
Merci déjà pour ces éclaircissements !!
je ne sais pas si tu doit le redémontrer mais "ça se sait" !!
sinon (avec un + plutôt) tu prends le ln puis tu fait un dl (car pour t fixé t/n->0 qd n->+inf) puis tu prends le exp
sinon pour le pb en 0 effectivement faut peut-être faitre attention et refaire comme avant au début du pb....
de rien
Merci beaucoup !
On a ln(1-x) équivalente en 0 à -x
Donc ln(1 - t/n ) équivalente en + 
à -t/n
Donc n ln(1 - t/n) équivalente en + à - t
Donc exp(n ln(1-t/n)) équivalente en + à exp(- t)
J'ai fait une révision sur les équivalents ce matin en reprenant mon classeur de math sup, et me suis retrouvée surprise de constater qu'une fonction était équivalente à sa limite (fonction constante) si celle-ci est non nulle, alors que pour être équivalente à la fonction nulle, elle doit s'annuler sur un voisinage du point où l'on cherche l'équivalent.
Ai-je bien compris ?
Et en l'infini, on ne peut pas dire que la fonction inverse et la fonction nulle sont équivalentes ?
Je demanderai éventuellement demain à mes copains de la formation à l'agreg interne. En tout cas, on voit que je manque d'entraînement, vu que je ne sais pas reconnaître les limites connues !!
Je te remercie encore et te souhaite une très bonne soirée de 11 novembre !
C'est encore moi ...qui fais mon Inspecteur Colombo !
Il y a quelque chose qui me dérange dans la solution que nous venons d'établir :
On ne peut pas échanger la limite et l'intégrale, vu que n est la borne supérieure de l'intégrale !!
(x)=limm
+
(de 0 à m) limn
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