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Limite et continuité
Boonsoir,
Je vous remercie de bien vouloir jeter un oeil à ces ex.
I )Montrer que f n'admet pas de limite sur aucun point de R.
f(x)=E(x) / x appartenant à Q
f(x)=x / x appartenant à (R-Q)
II ) f continue positive sur R+
Supposons que la limite de f(x)/x avec x tendant vers +linfini égale k / k<1
Montrer que f admet un point fixe
Merci
Bonsoir,
si on utilise la définition séquentielle de la limite c'est direct :
f admet l pour limite en a si et seulement si pour toute suite (un) convergent vers a alors f(un) converge vers l.
Supposons qu'il existe un réel a tel que f admette une limite l en a.
Puisque Q et R-Q sont denses dans R, il existe une suite (un) de rationnel et une suive (vn) d'irrationnels convergent toutes les deux vers a.
On a alors f(un) et f(vn) qui convergent vers l.
Or, f(un)=E(un) et f(vn)=vn
Conclus.
II] On pose h(x)=f(x)-x
h(x)=x(f(x)/x-1) donc h(x) tend vers -oo en +oo.
Or, h(0)=f(0)-0=f(0) > 0 (puisque f est positive sur R+)
On en déduit puisque h est continue que d'après le TVI, h s'annule au moins une fois, donc f admet au moins un point fixe.
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