Salut

Soit x >0   f'(x)>1 ===> f(x)-f(0) > x ==> f(x)>x+f(0)   pour  tout x € IR

Donc lim de f en +00  est égale à +00

Idem  quand  x tend vers -00 sans oublié d'inversé l'inégalité  

Merci pour votre aide.

En fait c'est justement le cas ou x<0 qui me pose problème, je m'embrouille en inversant les inégalités et j'aboutis à un résultat faux. Pouvez vous détailler cette partie ?

Soit  f : dérivable vérifiant f ' 1

Prends x et y ₊ .  Tu as f(x + y) - f(y) = yf '(c)  pour au moins un c entre x et x + y donc
(*) : f(x + y) - f(y) y

1.Suppose f majorée . f(t) tendrait donc vers un téel r lorsque t tend vers +

Pour tout réel y > 0 , tu aurais donc (fais tendre x vers + dans (*) ) : r f(y) + y = g(y) .

Tu dois voir alors pourquoi cela entraine  une contradiction ( g serait majorée )
2. Pour montrer que f n'est pas minorée tu peux faire une preuve analogue ou considérer h : x -f(-x) qui vérifie h ' 1

Erreur dans ma preuve:
Ce qui suit me semble juste

Si f ....., x est un réel y un réel > 0 on a
f(x + y) - f(x) = yf '(c)  pour au moins un c entre x et x + y donc
(*) : f(x + y) - f(x) y

1.Suppose f majorée . f(t) tendrait donc vers un téel r lorsque t tend vers +
Pour tout réel y > 0 , tu aurais donc (fais tendre x vers + dans (*) ) : 0 y  ce qui est largement contradictoire.

Remarques
1. f ' 1 suffit .
2. " f '(x) > 1 "n'a pas de sens . seules
"   x A , f '(x) > 1 " et " x B tq f '(x) > 1 " en ont un .

Merci.
L'égalité f(x + y) - f(x) = yf '(c) découle des accroissements finis ?

On me demande ensuite de prouver que f est bijective de R dans I, avec I un intervalle à préciser.

Celà me paraît bizarre, j'aurais dit qu'elle était bijective de R dans R, mais R n'est pas un intervalle (d'autant plus que pour utiliser le théorème de la bijection l'ensemble de départ doit être un intervalle :s).

Bonsoir,
Il me semble que ce que fait kybjm est bien compliqué, d'autant plus que bard_210 a donné le résultat qui provient du fait que :
si
alors
ce qui donne
donc f tend effectivement vers + l'infini en + l'infini.

En fait, la encore un rapide dessin permet de se convaincre du resultat: ta fonction f a de partout une pente plus grand que 1....

Pour en ce qui concerne moins l'infini, on procède exactement de la même façon (la encore le dessin permet de comprendre comment mettre les inégalité, la courbe de f va etre en dessous d'une fonction affine de pente 1):
si
alors
donc

ce qui permet de conclure que f tend vers moins l'infini.

Pour ta question, R est bien entendu un intervalle (l'intervalle ]-infini;+infini[)
Et f est effectivement bijective de R dans R (surjective car continue et de limite + infini (resp - l'infini) en + l'infini (resp - l'infini) et injective car f'(x)>1)