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Limite et DL

Posté par
AntoineTSI 24-01-09 à 16:41

Bonjour voici la limite qui me pose problème...
\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} tan(x)^cos(x)

Je sais qu'il faut: poser t= \frac{\pi}{2}- x pour que t tend sur 0
puis utiliser exp[tan(x)ln(cos(x))], ensuite le DL de cos (x), exp(x) et de tan(x)
Le problème est que je ne connais pas celui de tan(x)... et je ne sais pas à quel ordre il faut que je fasse cette limite.

Si vous pouviez m'éclaircir, en m'indiquant votre démarche de résolution de cette limite, ça serait fort bien aimable.
Merci,
Antoine.

Posté par
raymond Correcteurre : Limite et DL 25-01-09 à 15:33

Bonjour.

On suppose que x tend vers 3$\textrm\fra{\pi}{2} par valeurs inférieures.

Alors, en posant x = 3$\textrm\fra{\pi}{2} - t, t tendra vers 0 par valeurs supérieures.

La limite cherchée est équivalente à :

3$\textrm\lim_{t\to 0^+} tan(t)^{-sin(t)} = \lim_{t\to 0^+} e^{-sin(t).ln(tan(t))}

Or, 3$\textrm-sin(t).ln(tan(t)) = -\fra{sin(t)}{t}\times{t}\times\Big[ln(\fra{tan(t)}{t})+ln(t)\Big]

Je te laisse poursuivre.

Posté par
AntoineTSIre : Limite et DL 25-01-09 à 22:38

J'ai poursuivie votre raisonnement en faisant le DL de ln(\frac{tan(t)}{t}) à l'ordre 3
je trouve ln(\frac{tan(t)}{t})=\frac{t^3}{3} + o(t^3).
Ensuite je sais que \lim_{x\to 0} \frac{-sin(t)}{t} = -1

Mais je suis embété avec le ln(t) je ne vois ce que je dois en faire...

Posté par
raymond Correcteurre : Limite et DL 26-01-09 à 06:47

Tu as :

\lim_{t\to 0}\fra{sin(t)}{t}=\lim_{t\to 0}\fra{tan(t)}{t}=1

Il ne reste donc que la limite de -t.ln(t) qui est 0.


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