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limite et intégrale

Posté par
gui_tou 06-09-08 à 23:22

Bonsoir,

Je vous présente mon problème.

Citation :
On définit la fonction 3$f_n par : 3$\forall n\ge1,\;\forall x\in{\bb R}_+,\;\;f_n(x)={4$\fr{x^n}{n!}}\exp(-x)

De même, on définit la fonction 3$F_n par : 3$\forall n\ge1,\;\forall x\in{\bb R}_+,\;\;F_n(x)=\Bigint_0^xf_n(t)dt

Montrer que 3$\lim_{n\to+\infty}\ F_n(x)=1


Il faut s'aider de l'égalité 3$\forall n\ge1,\;F_n=F_{n+1}+f_{n+1 (obtenue par une simple IPP).

C'est-à-dire 3$F_n(x)\ =\ \Bigint_0^x{4$\fr{t^{n+1}}{(n+1)!}}\exp(-t)dt\ +\ {4$\fr{x^{n+1}}{(n+1)!}}\exp(-x)

Il faudrait donc montrer que 3$\lim_{x\to+\infty}\ \[\Bigint_0^xt^{n+1}\exp(-t)dt\ +\ x^{n+1}\exp(-x)\]=(n+1)!

et j'ai pas d'idées

Une indication ?

Merci

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : limite et intégrale 06-09-08 à 23:32

Salut guitou !

J'ai pas une feuille devant moi !

Une simple idée: 3$ F_{n+1}=F_n-f_{n+1}=F_{n-1}-(f_{n+1}+f_{n+2})=...=F_0-\Bigsum_{k=1}^{n}f_{n+k} n'aboutit à rien?

Posté par
gui_toure : limite et intégrale 06-09-08 à 23:38

Salam Mohamed !

J'étais justement en train de chercher une telle relation mais je me noyais ^^

Et bien si, ça aboutit !

On a 3$\forall x\in{\bb R}_+,\;F_{n+1}(x)=F_0(x)-\Bigsum_{k=1}^nf_{n+k}(x)=1-e^{-x}-\Bigsum_{k=1}^nf_{n+k}(x)

Comme on travaille à n fixé, alors vu que chaque 3$f_{n+k}(x) tend vers 0, la somme finie 3$\Bigsum_{k=1}^nf_{n+k}(x) tend vers 0, et donc le tout tend vers 1.

vieux

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : limite et intégrale 06-09-08 à 23:42

Très bien alors, guigui !

Posté par
scrogneugneure : limite et intégrale 06-09-08 à 23:43

Salut !

École d'ingé pour vous deux comme finalité ?

Posté par
infophilere : limite et intégrale 06-09-08 à 23:46

Salut les mecs

Allez jeter un coup d'oeil au topic de Thallo c'est 'achement intéressant ! Pour le moment j'ai pas été plus loin que lui, même condition ab < 1/8 en passant par les relations coefficients/racines.

Si quelqu'un trouve une CNS

Posté par
gui_toure : limite et intégrale 06-09-08 à 23:48

par contre je crois que c'est : 3$F_n=F_0-\Bigsum_{k=1}^nf_i non ?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : limite et intégrale 06-09-08 à 23:49

scrogneugneu>> espérons !

Kévin>> Je vais essayer pour ma part !

Posté par
infophilere : limite et intégrale 06-09-08 à 23:49

Right

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : limite et intégrale 06-09-08 à 23:50

guitou>> pourquoi?

Posté par
gui_toure : limite et intégrale 06-09-08 à 23:50

salut scrogneugneu et kévin

On verra quelle école voudra de moi ^^

Il t'a payé pour faire une telle pub ? Oui oui je connais son zoli problème ^^

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : limite et intégrale 06-09-08 à 23:50

ah oui OK, je vois

Posté par
gui_toure : limite et intégrale 06-09-08 à 23:55

Ba

3$\rm F_n = F_{n-1} - f_n \\ F_{n-1} = F_{n-2} - f_{n-2} \\ F_{n-2} = F_{n-3} - f_{n-3}

Donc 3$\rm F_n = F_{n-2}-f_n-f_{n-2} = F_{n-3}-f_n-f_{n-2}-f_{n-3}

Donc je conjecture : 3$\fbox{\forall k\in{\bb [}0,n{\bb ]},\;F_n=F_{n-k}-\Bigsum_{i=n-k}^nf_i

et avec k=n : on a ce que j'ai mis

Posté par
gui_toure : limite et intégrale 07-09-08 à 00:01

zut petite erreur dans la formule 3$\fbox{\forall k\in{\bb [}0,n{\bb ]},\;F_n=F_{n-k}-\Bigsum_{i=n-k+1}^nf_i

Posté par
lyonnaisre : limite et intégrale 07-09-08 à 10:34

Re

Si tu cherches :  3$\lim_{x\to+\infty}\ F_n(x)=1

Tu peux aussi utiliser que :

3$\lim_{x\to+\infty}\ F_n(x) = \lim_{x\to+\infty}\Bigint_{0}^x \frac{e^{-x}x^n}{n!} dx = \frac{1}{n!}\Bigint_{0}^{+\infty} e^{-x}x^n dx = \frac{\Gamma(n+1)}{n!} = \frac{n!}{n!} = 1

Posté par
gui_toure : limite et intégrale 07-09-08 à 15:18

Salut Romain

On n'a pas vu la fonction gamma ^^

Mais merci quand même!

Pour info, le problème permet de démontrer la formule de Stirling

Posté par
lyonnaisre : limite et intégrale 07-09-08 à 15:20

Je sais, ça me rappelle ce que j'avais eu à CCP l'année dernière

Posté par
gui_toure : limite et intégrale 07-09-08 à 15:30

Vu que 3$\sup_{{\bb R}_+}f_n=f_n(n) et que 3$f_n(n)=\fr{n^n}{n!}e^{-n}\longrightarrow_{n\infty}0 ,
est-ce qu'on peut dire que la suite de fonctions 3$(f_n) converge uniformément vers la fonction nulle sur 3${\bb R}_+ ?

Posté par
lyonnaisre : limite et intégrale 07-09-08 à 16:26

Voila j'ai retrouvé le sujet dont je te parlais : =>

Il est intéressant à faire. C'est que du cours et si tu y arrives, tu as bien compris toutes les subtilités des suites et séries de fonctions. C'est paragraphe 5 pour ton exo (même si le but n'est pas le même ici).

Sinon pour ta question, c'est tout bon

Posté par
gui_toure : limite et intégrale 07-09-08 à 16:32

Oki merci!

Vi je l'ai lu ton sujet, maintenant tu dois maîtriser tout ce qui touche aux suites de fonctions

Justement je pose la question car la question 4 de la partie I (exemples et contre exemples) me turlupine.

Logiquement, 3$\lim_{n\to+\infty} F_n(x)= 0 ... [et c'est le cas en fait ]

Bon en écrivant ces qq lignes je me rends compte de ma bêtise

J'ai confondu 3$\lim_{n\to+\infty} F_n(x)  et 3$\lim_{x\to+\infty} F_n(x) ^^


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