Pour chaque x > 0, il y a un n tel que x > 1/n
Donc la limite de fn est 0 sur l'ouvert.
L'intégrale sur le fermé est-elle nulle ? Principe: découper le fermé en deux intervalles 0, et ,1. Se débrouiller pour choisir pour que l'intégrale sur 0, tende vers 0, le second morceau étant nul d'après la première remarque.

j'ai pas compris votre démarche :s:s

Désolé, je suis allé chercher midi à 14 H.
Je reprends:

Pour chaque x > 0, il y a un n tel que x > 1/n
Donc la limite de fn est 0 sur l'ouvert.
Or fn(0) = 0
Donc la limite de fn est 0 sur le fermé.

L'intégrale de cette limite est donc 0.
La limite de l'intégrale, elle, est non nulle (l'intégrale vaut toujours 1/3 sauf erreur de calcul de ma part).

C'est un exemple de convergence de fonction qui n'est pas uniforme. fn a un maximum égal à n/2 qui tens vers l'infini, donc fn n'est pas majorée.

moi aussi j'ai trouvé 1/3 .. ! donc on peut en déduire que les limites sont différentes?! integral de la lim et différente de la lim de l'integral

Exactement.
L'integrale de la lim n'est égale à la lim de l'integrale que si de "bonnes" conditions sont satisfaites. Par exemple, si la fonction converge uniformément vers sa limite.