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limites

Posté par
florian2 20-08-07 à 22:01

bonsoir,
pourriez vous me donner parmi les limites suivantes,un exemple de limite qui n'existe pas (avec la justification ) svp
merci d'avance

** image supprimée **

Posté par
cailloux Correcteurre : limites 20-08-07 à 22:07

Bonjour,

La troisième: il y a une limite à gauche différente de la limite à droite.

Posté par
florian2re : limites 20-08-07 à 22:12

je ne comprends pas,on a une forme indeterminée en 0/0 pour la n°3:
comment peut on trouver une limite a droite et une à gauche?

Posté par drioui (invité)re : limites 20-08-07 à 22:16

salut
(3h²)=|h|3
tu discute selon que h est positif ou negatif puis tu simplifie par h

Posté par
cailloux Correcteurre : limites 20-08-07 à 22:17

En levant l' indétermination:

3$\frac{\sqrt{3h^2}}{h}=\frac{|h|\sqrt{3}}{h}

Si h>0, 3$\frac{|h|\sqrt{3}}{h}=\sqrt{3} et la limite en 0 est 3$sqrt{3}

Si h<0, 3$\frac{|h|\sqrt{3}}{h}=-\sqrt{3} et la limite en 0 est 3$-sqrt{3}

Posté par
florian2re : limites 20-08-07 à 22:25

qu'entends tu par 'discuter' puis simplifier par h?

Posté par drioui (invité)re : limites 20-08-07 à 22:32

c'est ce que cailloux vient de t'expliquer

Posté par
florian2re : limites 21-08-07 à 12:11

bonjour,
calculer ,quand elles existent,les limites suivantes:
1)lim (x--->3)[(x²-9)/(x-3)]^3
2)lim (x--->3)(x²-4x+3)/(x-3)
3)lim (h--->0) (3h²)/h (h n'est pas sous la racine).
4)lim (h--->0) [(3+h)^3-27]/h
5)lim (h--->0) [(2+h) - 2] /h
6)lim (x--->0) x/(x+4-2)
7)lim (x--->0) [(1+x²) -1]/x
8)lim (x--->4) [1-(5+x)]/[1-(5-x)]
9)lim (x--->0) [(1+x) - (1-x)] /x
10)lim (x--->7) [2-(x-3)]/(x²-49)
11)lim (x--->3) [(x²-2x+6) - (x²+2x-6)]/(x²-4x+3)
12)lim (x--->1) [1/(1-x)] - [3/(1-x^3)]
13)lim (x--->3) (x²-6x+9)/(x²-3x)
14)lim (x--->2) (x²-4x+4)/(x²-4)

je posterai mes reponses ulterieurement...

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : limites 21-08-07 à 12:24

1)lim (x--->3)[(x²-9)/(x-3)]^3
= lim (x--->3)[(x-3)(x+3)/(x-3)]^3
= lim (x--->3)(x+3)^3 = 6^3 = 216
-----

2)lim (x--->3)(x²-4x+3)/(x-3)
= lim (x--->3) [(x-1)(x-3)/(x-3)]
= lim (x--->3) (x-1) = 2
-----
3)lim (h--->0) V(3h²)/h
= lim (h--->0) |h|.V3/h

et donc:
lim (h--->0+) V(3h²)/h = V3
lim (h--->0-) V(3h²)/h = -V3
-----
4)lim (h--->0) [(3+h)³-27]/h
= lim (h--->0) [(3+h-3)((3+h)²+9+3(3+h))]/h
= lim (h--->0) [((3+h)²+9+3(3+h))]
= 3² + 9 + 3*3 = 27
-----
Je passe le relais au suivant ...

Posté par
florian2re : limites 21-08-07 à 12:45

je ne comprends pas la methode employée pour le 4)

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : limites 21-08-07 à 12:58

Pour le 4

Produit remarquuable:
a³-b² = (a-b)(a²+b²+ab)

(3+h)³-27
= (3+h)³-3³
--> a³-b² = (a-b)(a²+b²+ab) avec a=3+h et b=3

= (3+h-3)((3+h)²+9+3(3+h))
= ...

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : limites 21-08-07 à 12:59

Lire:

Produit remarquuable:
a³-b³ = (a-b)(a²+b²+ab)

...

Posté par
cailloux Correcteurre : limites 21-08-07 à 13:18

Bonjour,

5)A=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{2+h}-\sqrt{2}}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h} avec f(x)=\sqrt{x} dérivable en 2

A=\left[f'(x)\right]_{x=2}=\left[\frac{1}{2\sqrt{x}}\right]_{x=2}=\frac{\sqrt{2}}{4}

6) B=\lim_{x\to 0}\frac{x}{\sqrt{x+4}-2}=\lim_{x\to 0}\frac{x(\sqrt{x+4}+2)}{(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)}=\lim_{x\to 0}\frac{x(\sqrt{x+4}+2)}{x}=\lim_{x\to 0}\sqrt{x+4}+2=4

7) C=\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} avec f(x)=\sqrt{1+x^2} dérivable en 0

C=\left[f'(x)\right]_{x=0}=\left[\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right]_{x=0}\,\,=0

8)\lim_{x\to 4}1-\sqrt{5+x}=-2 et \lim_{x\to 4}1-\sqrt{5-x}=0

Si 4<x<5, 1-\sqrt{5-x}>0 et \lim_{\stackrel{>}{x\to 4}}\frac{1-\sqrt{5+x}}{1-\sqrt{5-x}}=-\infty

Si -5<x<4, 1-\sqrt{5-x}<0 et \lim_{\stackrel{<}{x\to 4}}\frac{1-\sqrt{5+x}}{1-\sqrt{5-x}}=+\infty

Posté par
cailloux Correcteurre : limites 21-08-07 à 14:16

9) D=\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}{x(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}=\lim_{x\to 0}\frac{2x}{x(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}=\lim_{x\to 0}\frac{2}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}=1

10) E=\lim_{x\to 7}\frac{2-\sqrt{x-3}}{x^2-49}=\lim_{x\to 7}\frac{(2-\sqrt{x-3})(2+\sqrt{x-3})}{(x-7)(x+7)(2+\sqrt{x-3})}=\lim_{x\to 7}\frac{7-x}{(x-7)(x+7)(2+\sqrt{x-3})}=\lim_{x\to 7}-\frac{1}{(x+7)(2+\sqrt{x-3})}=-\frac{1}{56}

11) F=\lim_{x\to 3}\frac{\sqrt{x^2-2x+6}-\sqrt{x^2+2x-6}}{x^2-4x+3}=\lim_{x\to 3}\frac{(\sqrt{x^2-2x+6}-\sqrt{x^2+2x-6})(\sqrt{x^2-2x+6}+\sqrt{x^2+2x-6})}{(x-1)(x-3)(\sqrt{x^2-2x+6}+\sqrt{x^2+2x-6})}=\lim_{x\to 3}\frac{-4(x-3)}{(x-1)(x-3)(\sqrt{x^2-2x+6}+\sqrt{x^2+2x-6})}=\lim_{x\to 3}\frac{-4}{(x-1)(\sqrt{x^2-2x+6}+\sqrt{x^2+2x-6})}=-\frac{1}{3}

12) G=\lim_{x\to 1} \frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3}=\lim_{x\to 1}\frac{1}{1-x}-\frac{3}{(1-x)(1+x+x^2)}=\lim_{x\to 1} \frac{x^2+x-2}{(1-x)(1+x+x^2)}=\lim_{x\to 1} \frac{(x-1)(x+2)}{(1-x)(1+x+x^2)}=\lim_{x\to 1} -\frac{x+2}{1+x+x^2}=-1

Posté par
cailloux Correcteurre : limites 21-08-07 à 14:24

13) H=\lim_{x\to 3}\frac{x^2-6x+9}{x^2-3x}=\lim_{x\to 3}\frac{(x-3)^2}{x(x-3)}=\lim_{x\to 3}\frac{x-3}{x}=0

14) I=\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4x+4}{x^2-4}=\lim_{x\to 2}\frac{(x-2)^2}{(x-2)(x+2)}=\lim_{x\to 2}\frac{x-2}{x+2}=0

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : limites 21-08-07 à 18:06

C'est beau...

Posté par
cailloux Correcteurre : limites 21-08-07 à 18:36

Quand on a du temps devant soi, ça va...

Posté par
florian2question portant sur le post de cailloux du 21/08/2007 à 14:16 24-08-07 à 09:05

bonjour,
pourquoi choisit on f(x)=x pour la limite 5)
et f(x)=(1+x²) pour la limite 7) ?
pourquoi ne pas choisir f(x)=(2+h) pour la limite 5)?
merci de m'eclairer à ce sujet

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : limites 24-08-07 à 09:36

Pour se ramener à une expression de dérivée...

Mais il est possible ici de faire autrement.

Lorsqu'on bute sur une forme indéterminée dans le calcul d'une limite, il existe une multitude de technique pour essayer d'en venir à bout.
En fonction des cas, il est plus facile d'utiliser l'une ou l'autre méthode.
Parfois, plusieurs méthodes peuvent convenir. C'est du cas par cas.

Par exemple ici:
Cailloux a utilisé une méthode, mais en voici une autre :

5)

lim (h--->0) [V(2+h) - V2] /h
= lim (h--->0) [V(2+h) - V2].[V(2+h) + V2] /[h.(V(2+h) + V2)]
= lim (h--->0) (2+h - 2) /[h.(V(2+h) + V2)]
= lim (h--->0)  h/[h.(V(2+h) + V2)]
= lim (h--->0)  1/[(V(2+h) + V2)]
= 1/(2V2) = V2/4
-----
Cailloux a utilisé la méthode des taux de variation et moi la multiplication par la quantité conjuguée.

On a évidemment trouvé la même solution.

Quelle méthode utiliser ?
Dans un pareil cas, peu importe, mais parfois l'une ou l'autre méthode permettra de trouver la solution et l'autre pas.
...
C'est du cas par cas.
-----
Sauf distraction.  





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