Tle - Limites - tableau de variation

Merci de bien vouloir vérifier mes exos et pourriez vous m'aider au nr 2c en caractère gras

Soit la fonction f définie sur  ] - ∞ ; 3[U ] 3 ; + ∞ [ par
f(x) = x²- 5x + 7 et soit (C) son graphe dans un repère orthonormal(0;i;j)
      __________
        3 - x                            

1)Etudier les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. En déduire l'existence d'une asymptote dont on donnera la nature et l'équation

Réponse :

. lim f(x) =    lim  x² - 5x + 7 =  lim       x² = lim -  x = - (+00) = - ∞
  x -> + ∞      x -> + ∞   3 - x    x ->+ ∞   x     x -->+ ∞    

. lim f(x) =    lim             x² - 5x + 7 =  lim           x² = lim -  x = - (-00) = + ∞
  x --> - ∞       x --> - ∞         3 - x        x -->- ∞   x     x -->- ∞    

. lim f(x) =    lim             x² - 5x + 7 =  1 lim       = + ∞
  x --> 3       x --> 3           3 - x             0 -    
  x > 3           x > 3

. lim f(x) =    lim             x² - 5x + 7 =  1 lim       = - ∞
  x --> 3       x --> 3           3 - x             0 +    
  x < 3           x < 3

On en déduit que :

(D) : x = 3 est une asymptote verticale car lim f(x) = + ∞
                                                                      x --> 3  

(lim f(x) =  + ∞ et lim f (x) = - ∞
x --> 3              x --> 3      
x > 3                     x < 3

et que x = 3 est une valeur interdite


2 a) Trouver trois reels a, b, c, tels que f (x) = ax + b + c     
                                                                                                                                            3 - x    

f(x) = ax + b +   c      =  (3 - x ) (ax + b) + c
                 3 - x                3 - x              

=  3ax + 3b - ax² - bx + c
        3 - x    

= - ax² + (3a-b) x + 3 b + c
         3 - x  

= x² - 5x + 7
        3 - x  


-ax² = x²                           a= -x² = -1
                                        x²
3a -b = - 5                        b = 5 + 3 * a = 5 + 3 * (-1) = 2
                        
3b + c = 7                         c = 7 -3b = 7 - 3 * 2 = 1

d'où f(x) : - x + 2  +     1       
                         3 - x  

    
b) Montrer que la droite (D) d'équation y = - x + 2 est une asymptote oblique à ( C )

(D) : y =  - x + 2 est une asymptote oblique à ( C ) car :

lim f(x) = - ∞  et lim f(x) = + ∞
x --> - ∞        x--> - ∞


lim (f(x) -  y) = lim       x² -5x + 7 - (- x + 2) = lim -x -(-x) = 0
x -> + ∞           x -> + ∞           3- x                    x-> + ∞
          
  
et
lim (f(x) -  y) = lim       x² -5x + 7 - (- x + 2) = lim -x - (-x) = 0
x -> - ∞           x -->- ∞           3- x                 x -> + ∞              

d) Etudier la position relative de ( C) par rapport à (D)

MERCI DE M'AIDER  SUR CE POINT.