Niveau terminale

Limites avec inconnues :S

Posté par keloi (invité) 25-10-06 à 10:53

Bonjour tout le monde...
je regardais dans mon classeur de 1ere et j'ai trouver un exo sur les limites...et la j'ai essayer de le refaire mais j'ai aucune piste et j'ai pas de correction :
voila je vous la donne ...j'aimerais bien un peu d'aide svp

g(x)= $\frac{3x^2-\sqrt{(px^4+qx^3+1)}+2x}{2x+1}$

il faut trouver P et Q de pour que en + L'infinie
1. La limite soit infinie
2. la limite soit finie non nulle
3. la limite soit nulle...

merci pour ceux qui veulent bien me donner une piste...

édit Océane : niveau renseigné

Posté par re : Limites avec inconnues :S 25-10-06 à 11:17

1. il faut que p différent de 9, pour que le numérateur reste au 3eme degré .
2. est q x³ ou q x²???

Posté par keloi (invité)re : Limites avec inconnues :S 25-10-06 à 11:24

pour la 1, deja c'est au second degres ...mais je suis d'accord pour le différent de 9 d'accord et donc le q sa peut etre nimporte quel nombre c'est sa ?

pour la 2...c'est bien q x^3...et c'est sa qui m'embette...

désoler pour les accents mais j'ai un clavier qwerty

Posté par ptitjean (invité)re : Limites avec inconnues :S 25-10-06 à 11:29

Salut,

joli exercice

premièrement, l'idée est de réécrire g(x)
$g(x)=\frac{3x^2+2x-x^2\sqrt{p+\frac{q}{x}+\frac{1}{x^4}}}{2x+1}$

$g(x)=x\frac{3+\frac{2}{x}-\sqrt{p+\frac{q}{x}+\frac{1}{x^4}}}{2+\frac{1}{x}}$

1.
Pour que la limite soit infinie, il suffit que la limite de la fraction soit non nulle.
Prenons p=q=0 par exemple

2.
Pour que la limite soit finie, il faut qu'il y ait indétermination pour l'instant.
C'est à dire, comme x tend vers l'infinie, il faut que la fraction tende vers 0
Donc que
$\lim_{x\to +\infty} (3+\frac{2}{x}-\sqrt{p+\frac{q}{x}+\frac{1}{x^4}})=0$

donc que
$\lim_{x\to +\infty} \sqrt{p+\frac{q}{x}+\frac{1}{x^4}}=3$

d'où fatalement p=9

Dans le cas de l'indétermination, on va utiliser la technique de la forme conjuguée pour la racine.
$g(x)=x\frac{3+\frac{2}{x}-\sqrt{p+\frac{q}{x}+\frac{1}{x^4}}}{2+\frac{1}{x}}$

$g(x)=x(\frac{3+\frac{2}{x}-\sqrt{p+\frac{q}{x}+\frac{1}{x^4}}}{2+\frac{1}{x}}).(\frac{3+\frac{2}{x}+\sqrt{p+\frac{q}{x}+\frac{1}{x^4}}}{3+\frac{2}{x}+\sqrt{p+\frac{q}{x}+\frac{1}{x^4}}})$

$g(x)=x(\frac{(3+\frac{2}{x})^2-(\sqrt{p+\frac{q}{x}+\frac{1}{x^4}})^2}{2+\frac{1}{x}}).(\frac{1}{3+\frac{2}{x}+\sqrt{p+\frac{q}{x}+\frac{1}{x^4}}})$

$g(x)=x(\frac{9+\frac{4}{x^2}+\frac{12}{x}-p-\frac{q}{x}-\frac{1}{x^4}}{2+\frac{1}{x}}).(\frac{1}{3+\frac{2}{x}+\sqrt{p+\frac{q}{x}+\frac{1}{x^4}}})$

Ici, le dénominateur tend vers 2*6=12 car p=9

On s'intéresse au numérateur :
$x(9+\frac{4}{x^2}+\frac{12}{x}-p-\frac{q}{x}-\frac{1}{x^4})$

$12-q+(9-p)x+\frac{4}{x}-\frac{1}{x^3})$

donc p=9

La limite du numérateur en +inf vaut donc 12-q

pour une limite finie nulle, q=12
pour une limite finie non nulle, q12

Ptitjean

Posté par re : Limites avec inconnues :S 25-10-06 à 11:31

2.impossible
3.p=q=0

Posté par keloi (invité)re : Limites avec inconnues :S 25-10-06 à 11:38

merci ptitjean je vais refaire les calculs je crois que c'est bon mais je prefere verifier et refaire le raisonnement pour que sa rentre mieu
si il y a encore un truc qui cloche je re-poste

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