Bonjour,

Je n'arrive pas a résoudre cet exercice, pouvez-vous m'aider à le faire s'il vous plaît?

On se propose d'étudier la fonction f définie sur]0,+00[ par:

f(x)= lnx/x+x^2-1/2x.

Le plan P est rapporté à un repère orthonormé (O,i(Vecteur),j(Vecteur)) (unité graphique 2cm).On note C la courbe représentative de f dans P.

1/On introduit la fonction auxiliaire g définie sur ]0,+00[ par:
g(x)=x^2+3-2lnx.
a)Donner le tableau de variations de g.
g(x) = x² + 3 - 2lnx
g'(x)=2x- 2/x = 2(x²-1)/x
Sur ]0 ; +∞[ g'(x) = 0 pour x = 1, négative pour 0< x <1 et positive pour x > 1
et
g(1) = 1²+ 3 - 2ln 1 = 4.

b)En déduire la signe de g sur ]0,+00[

b) g est donc décroissante sur ]0; 1[ ; a un minimum = 4 pour x = 1 puis est croissante sur ]1 ; ++∞[
Par suite g est positive sur ]0 ; +∞[

2/ Montrer que , pour tout x de ]0,+00[:
f'(x)=g(x)/2x^2;

2/ f(x)= lnx/x + (1/2)x -1/(2x).

f '(x) = [x*1/x - ln x]/x² + 2x + 2/(4x²)
= (1 - lnx)/x² + 1/2 + 1/2x²
= (3 - 2lnx + x²)/2x²
=g(x)/2x²

3/En déduire le sens de variation de f
3/ Par suite f '(x) est positive donc f est croissante.

b/ Calculer
lim f(x) ; quelle en est la conséquence graphique ?
x>0
b /Si x tend vers 0 lnx/x tend vers -∞ ainsi que -1/(2x) alors que (1/2)x tend vers 0.
La fonction donc tend vers -∞.
Elle a une asymptote verticale en 0

c/ Calculer
lim f(x).Soit D la droite d'équation y=1/2x. .
x>+00

Interpréter graphiquement la différence h(x)=f(x)-1/2x puis l'exprimer en fonction de x.

Calculer la limite quand x tend vers +00 de f(x)-1/2x ; interpréter graphiquement le résultat obtenu.

c/ h(x) = f(x) - 1/(2x) =
lnx/x - 1/(2x)

Or lnx/x et 1/(2x) tendent vers 0 en +∞
donc h(x) tend vers 0
la droite d est asymptote oblique à C en + ∞

d/ je ne sais pas  comment Montrer que C et D se coupent au point d'abscisse Ve ;étudier la position relative de C et de D.

3/dresser le tableau de variations de f.

On pourra calculer des valeurs approchées de f(x) pour: x=0.5;x=1.5;x=2;x=3;x=3.5;x=4;x=4.5;x=5.

  x |0           +∞
-----|-║------------------
f '(x)|║      +
------|║---------------------------------
f(x)| ║ croissante

coordonnées de quelques points de C (valeurs approchées) :
x     l 0.5    l 1.5   l 2       l 2.5     l 3      l 3.5 l 4      l 4.5   l 5 l
f(x) l -2.13l0.686 l1.096l1.416l1.699l1.965l2.221l2.473l2.721

4/je ne sais pas comment Montrer que l'équation f(x)=1 admet sur]0,+00[ une solution alpha et une seule; donner une valeur approchée de alpha à 0,01 prés .

5/je ne sais pas comment tracer D et C , ainsi que la droite d'équation y=1 et le point H de C d'abscisse alpha .


Je vous remercie par avance de votre précieuse aide.