Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale Limites de fonctionsTopics traitant de Limites de fonctions [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

Limites de fontion

Posté par
Jeanbondr 07-09-21 à 21:03

Bonjour à tous,
Je vous demande l'aide aujourd'hui car j'ai vraiment du mal sur un DM. Voici l'énoncé :
Soit f la fonction définie sur ℝ / { -1 ; 1 } par f(x) = x²-2x/x²-1

On appelle C sa courbe représentative.
1. Montrer que la courbe C coupe la droite d'équation y = 1 en un point que l'on
précisera
2. Montrer que le signe de la dérivée f' de f est donnée par celui de x2 -2x +1
3. Déterminer les variations de la fonction f.
4. Calculer les limites de f en + ∞ et en 1
5. Sans justification, donner les limites en - ∞ et en -1 puis donner le tableau de
variations de f.
6. Quelles sont les asymptotes horizontales ou verticales à C ?
7. Montrer que C ne peut avoir de tangente parallèle à la droite d'équation y = -x.

Posté par
heklare : Limites de fontion 07-09-21 à 21:10

Bonsoir

Que proposez-vous ?
Qu'est ce qui vous gêne  ?

Ne manque-t-il pas des parenthèses ? certainement, la fonction n'étant pas définie en -1, 1

f(x)=\dfrac{x^2-2x}{x^2-1}

Posté par
Jeanbondrre : Limites de fontion 07-09-21 à 21:21

Bonsoir
C'est bien cette fonction
Mais en effet c'est un gênant car j'ai aucune idée de comment faire
Pourriez vous me donner des pistes svp merci bcp !

Posté par
heklare : Limites de fontion 07-09-21 à 21:29

Pour la première on vous demande pour quelle(s) valeur(s)  a-t-on f(x) =1

question 2 dérivez  quel est le numérateur d'icelle ?

Posté par
Jeanbondrre : Limites de fontion 07-09-21 à 21:42

Voici ce que j'ai trouvé :
Montrons que la courbe coupe la droite équation y=1
1)f(x)=(x²-2x)/(x²-1)=1
(x²-2x)/(x²-1) * (x²-1) = 1*(x²-1)
x²-2x = x²-1
-2x+1= x²- x² -1 +1
-2x+1= 0
-2x=-1
x= 1/2

2)u= x²-2x v=x²-1
u'= 2x-2 v'=2x
(2x-2*x²-1)-(x²-2x*2x)/(x²-1)²
3x²-2x-2x²+2x3-4x/(x²-1)²
2x3-x²+2/(x²-1)²

Posté par
heklare : Limites de fontion 07-09-21 à 21:55

Pour 1

Calculons l'abscisse du point d'intersection des 2 courbes. Pour ce faire résolvons f(x)=1

d'accord
puis 1/2 différent de -1 et 1 donc 1/2 convient la courbe coupe donc la droite y=1 au point d'abscisse 1/2

question 2  il manque les parenthèses

u(x)=x^2-2x \quad u'(x)= 2x-2

v(x)=x^2-1 \quad v'(x)=2x

il en résulte f'(x)=\dfrac{(2x-2)(x^2-1)-2x(x^2-2x)}{(x^2-1)^2}

Développez et mettez 2 en facteur au numérateur

Posté par
heklare : Limites de fontion 07-09-21 à 22:01

Il faudra penser à mettre à jour votre profil. Il est resté en première.

Posté par
Jeanbondrre : Limites de fontion 07-09-21 à 22:02

2)2(1-x+x²)/(x²-1)²
En faisant delta
La seule racine est 1 donc le signe est strictement positif
3) La fonction f est strictement croissante sur les intervalles {-1;1}

Posté par
heklare : Limites de fontion 07-09-21 à 22:12

Il y a une erreur dans votre texte  on a bien f'(x)=\dfrac{2(x^2-x+1)}{(x^2-1)^2}

Comme 2 et (x^2-1)^2 sont strictement positifs sur \R\setminus \{-1\ ;\ 1\}

le signe de f'(x) est bien celui de x^2-x+1

\Delta=(-1)^2-4\times 1\times1=-3  \Delta<0 pas de racine f'(x) est  toujours strictement positif

Revoir les intervalles  vous avez donné un ensemble à deux éléments

Posté par
Jeanbondrre : Limites de fontion 07-09-21 à 22:17

Okay merci beaucoup
Sinon la question 3 est bon ?
4) les limites de f :
+infini on a 1
1 on peut pas déterminé
5) -infini on a 1
En -1 ya pas de limite
6) Les asymptotes horizontales en +/- infini, les asymptotes verticales en -1 et 1
7) je ne sais vrmt pas
Est ce que c'est possible que vous me donnez un exemple de rédaction svp

Posté par
Jeanbondrre : Limites de fontion 07-09-21 à 22:25

Sur ce merci beaucoup
Je vais dormir à demain !

Posté par
heklare : Limites de fontion 07-09-21 à 22:38

Question 3
Si pour tout x\in I,\:f'(x)> 0 alors f est  strictement croissante sur I.

Sur ]-\infty~;~-1[ , sur   ]-1\ ;\ 1[ et sur ]1\ ;\ +\infty[     f'x) >0 donc sur chacun de ces intervalles la fonction est strictement croissante

Question 4

\displaystyle  \lim_{x\to +\infty} f(x)=1

\displaystyle  \lim_{\stackrel{x\to 1}{x>1}} f(x)=-\infty

En 1 le numérateur tend vers -1 le dénominateur  tend vers 0 par conséquent le quotient tend vers l'infini  à droite de 1, le quotient est négatif  donc -\infty

On fera de même en -1, mais sans justifier

asymptotes  

une parallèle à l'axe des abscisses  y=1

deux parallèles à l'axe des ordonnées  x=-1 et x=1  Il faut justifier


7 deux droites sont parallèles   si et seulement si elles ont même coefficient directeur

le  coefficient directeur de la tangente en a est

le coefficient directeur de la droite d'équation y=-x est

Posté par
heklare : Limites de fontion 07-09-21 à 22:39

Bien

Bonne nuit

Posté par
Jeanbondrre : Limites de fontion 08-09-21 à 04:59

Bonjour Monsieur merci beaucoup pour les réponses
Mais le problème c'est que je sais pas justifier 😂

Posté par
Tilk_11 Moderateurre : Limites de fontion 08-09-21 à 08:36

Bonjour Jeanbondr,
pense à modifier le niveau dans ton profil

Posté par
heklare : Limites de fontion 08-09-21 à 10:12

En reprenant les définitions

On a une asymptote parallèle à l'axe des ordonnées si  la fonction n'est
pas définie en a et la limite quand x tend vers a à droite ou à gauche,  est infinie.
L'équation de l'asymptote est x=a. Vous appliquez ceci
Faites une proposition de rédaction ou de justification.

Posté par
Jeanbondrre : Limites de fontion 08-09-21 à 17:54

6) Par définition, si lim f(x) tend vers l en +/- infini, alors on dit la droite d'équation y = l est une asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction
Comme lim f(x) en +/- infini tend vers 1
Donc on a une asymptote en -1 et 1
Du coup comment on fait pour les asymptotes verticale ?
7)On sait que deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont même coefficient directeur
Or le  coefficient directeur de la tangente en a est f'(x) et le coefficient directeur de la droite d'équation y=-x est -x
Mais comme la fonction dérivée de x est strictement positif d'après la question 2
Donc C ne peut pas avoir de tangente parallèle à la droite d'équation y=-x
Merci d'avance

Posté par
heklare : Limites de fontion 08-09-21 à 18:46

Citation :
6) Par définition, si lim f(x) tend vers l en +/- infini, alors on dit la droite d'équation y = l est une asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction
Comme lim f(x) en +/- infini tend vers 1


Si f tend vers 1 lorsque x tend vers \pm \infty alors la courbe représentative de f admet la droite d'équation y=1 pour asymptote


asymptote « verticale »

c'est ce que je vous ai écrit plus haut

La courbe représentative de f admet une asymptote parallèle à l'axe des ordonnées si  la fonction n'est
pas définie en a et la limite quand x tend vers a à droite ou à gauche,  est infinie.

f n'est pas définie en 1 et la limite quand x tend vers 1 par valeurs supérieures est -\infty  et par valeurs inférieures est  +\infty
par conséquent la droite d'équation x=1 est asymptote à la courbe. On ferait de même en -1

la courbe admet donc trois asymptotes y=1,\ x=1\ x=-1

Question 7   cela manque de rigueur

Or le  coefficient directeur de la tangente en a est f'(a) et le coefficient directeur de la droite d'équation y=-x est -1

Mais comme la fonction dérivée de x f est strictement positive d'après la question 2

le reste sans changement

Posté par
Jeanbondrre : Limites de fontion 08-09-21 à 21:21

Bonsoir,
Merci beaucoup M.Hekla, vous m'avez sauvé pour le DM XD
En tout cas bonne soirée à vous et bonne continuation !

Posté par
heklare : Limites de fontion 08-09-21 à 21:45

Bonne soirée

De rien.   C'est beaucoup dire quelques rectifications au plus


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1676 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !