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limites de ln

Posté par
babybelle 29-10-06 à 16:23

Bonsoir, bonsoir !
Je dois prouver que la droite d d'équation y= x - 4 est asymptote à la courbe C représentative de f au voisinage de +, la fonction f étant :
f(x) = x - 4 + ln [x/(x + 1)]
Pour cela, il me faut donc étudier lim[f(x) - (x - 4)] en +, ce qui me donne après développement : lim ln[x/(x + 1)]
Quelle est donc cette limite ?
Je pense qu'il faut poser X=1/(x+1), pour obtenir au final lim ln(1 - X) avec X0 lorsque x+, et l'on a donc lim ln1 = 0
Est-ce bien cela qu'il faut faire ou existe-il une autre méthode ?
Merci d'avance !

Posté par
fusionfroidere : limites de ln 29-10-06 à 16:27

Salut

4$\frac{x}{x+1}=\frac{1}{1+\frac{1}{x}}

Or, 4$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0

Par conséquent, 4$\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x+1} =1

Donc 4$\lim_{x \to +\infty} ln(\frac{x}{x+1}) =1

Posté par
fusionfroidere : limites de ln 29-10-06 à 16:28

Mince, lire pour la dernière limite :

4$\lim_{x \to +\infty } ln(\frac{x}{x+1}) =0

Posté par
fusionfroidere : limites de ln 29-10-06 à 16:29

J'aime bien ta méthode aussi

Posté par
babybellere : limites de ln 29-10-06 à 16:39

Merci ! Je savais bien que j'étais une matheuse dans l'âme ! Je vais quand même opter pour ta méthode, c'est plus sûr !
Et puis tant qu'à faire, je vais continuer sur ma lancée !
Dans un TD (le 2 page 129 du transmaths TS...), on a la fonction :
xlnx + 1 - x définie sur I = ]0;+[
On doit démontrer que pour tout xI, lnxx-1
Une remarque dit : La droite d'équation y = x - 1 est tangente à la courbe C représentant ln au point d'abscisse 1. Donc si on sait que l

Posté par
fusionfroidere : limites de ln 29-10-06 à 16:41

Fausse manip ?

Posté par
babybelle... la suite ... 29-10-06 à 16:43

Donc si on sait que la courbe C est au-dessous de n'importe laquelle de ses tangentes, alors on peut affirmer sans plus de calculs que lnx x - 1

Je ne sais pas vraiment comment faire car à chaque foit j'arrive a des calculs bizarres, avec comme inconnus x (pour ln x) et a (dans l'équation de la tangente y'=ln'(a)(x-a)+lna
            y'=(1/a)*x - 1 + ln a

Posté par
fusionfroidere : limites de ln 29-10-06 à 16:46

En fait tu as deux méthodes :

Soit tu étudies la fonction 4$f définie par 4$f(x)=ln(x)-(x-1)

Soit tu sais que la fonction 4$x->ln(x) est strictement concave (car sa dérivée seconde est négtive pour tout x) et que par conséquent, elle est en dessous de toutes ses tangentes.

Posté par
babybelleposition de C par rapport à ses tangentes 29-10-06 à 16:46

Le TD précédent, pour prouver que la courbe C est au-dessous de n'importe quelle tangente, proposait d'étudier le signe de g (après l'avoir dérivée)avec : g(x)=(1/a)x - 1 + lna - lnx définie sur ]0;+[

Posté par
fusionfroidere : limites de ln 29-10-06 à 16:47

La meilleure méthode en terminale reste l'étude de fonction

Posté par
babybellere : limites de ln 29-10-06 à 17:10

Seulement je pense qu'il est "fortement conseillé" d'utiliser la méthode donnée dans le manuel... et c'est là que je bloque !

Posté par
fusionfroidere : limites de ln 29-10-06 à 17:16

Qu'as tu trouvé pour le signe de g(x) ?

Posté par
babybellere : limites de ln 29-10-06 à 17:29

et bien je dérive g et j'obtiens g'(x)= 1/a + 1/a + 1/x
Et je ne sais pas comment étudier le signe de g, même si on sait que x]0;+[, ainsi que a ...

Posté par
fusionfroidere : limites de ln 29-10-06 à 17:42

ben quel est le signe de g'(x) ?

Tu en déduis les variations de g.

Tu fais un tableau et tu calcules g(0) et la limite de g(x) en l'infini.

Posté par
babybellere : limites de ln 29-10-06 à 17:57

petite erreur... en fait, pour la dérivée de g, on obtient g'(x)=2/a-1/x
or ne connaissant pas a en fonction de x...
C'est pour ça que ça me paraît étrange et que je pense me tromper !

Posté par
babybellere : limites de ln 29-10-06 à 18:18

ai-je le droit de dire, pour l'étude de f(x) = lnx - (x-1) que x est strictement supérieur à lnx ?

Posté par
babybellere : limites de ln 29-10-06 à 18:31

C'est bon, je m'en suis sortie finalement ! Merci beaucoup !

Posté par
fusionfroidere : limites de ln 29-10-06 à 18:34

ah bah de rien

Posté par
babybellere : limites de ln 29-10-06 à 18:45

Euh, encore une ptite chose... Je sais qu'il ne faut pas abuser de la générosité des gens mais bon, là on est en maths, ça compte pas !
De l'inégalité obtenue (c'est-à-dire lnx x - 1 pour tout x ]0;+[) on doit prouver que pour tout réel t]-1;+[, ln(1+t)t
Je comprends que lnt + 1 t mais pourquoi mettre une parenthèse ?

Posté par
fusionfroidere : limites de ln 29-10-06 à 18:54

Justement, la première inégalité est valable pour tout 4$x \in ]0,+\infty[

En particulier pour 4$x=t+1 avec 4$x \in ]0,+\infty[, on a :

4$ln(1+t) \le (1+t)-1=t

Soit 4$ln(1+t) \le t

Il est facile de montrer que si 4$t+1 \in ]0,+\infty[, alors 4$t \in ]-1,+\infty[

Posté par
babybelleUn encadrement de ln2 31-10-06 à 12:30

Rebonjour !
A partir de l'inégalité suivante : 1/(p+1) ln[(p+1)/p] 1/p
et de la suite (Un) définie par : Un = 1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/2n
Il faut démontrer que Un ln2 Un + 1/2n
Je ne sais pas trop comment m'y prendre...
Merci d'avance !

Posté par
babybellere : limites de ln 31-10-06 à 14:01

s'il vous plait ...

Posté par
fusionfroidere : limites de ln 31-10-06 à 14:03

salut

Essaie de poster un exo par topic, merci

As-tu compris mon dernier message avec le ln ?

Posté par
babybellere : limites de ln 31-10-06 à 14:37

Oui, c'était tellement simple que j'en ai honte...
Et le dernier message que j'ai posté concerne le même exercice (ok, ça saute pas aux yeux!)... dois-je créer un nouveau topic ?
Merci pour tout fusionfroide !

Posté par
fusionfroidere : limites de ln 31-10-06 à 14:38

De rien

Pour ta question, c'est oui, comme ça plus de monde pourra te répondre.


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