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Limites et continuit
Bonsoir à vous tous 
Petit problème sur un exercice, je vous le présente.
Soit f de R dans R une fonction continue en 0 vérifiant . On considère g=f-f(0).
Quelle équation fonctionnelle est vérifiée par g ?
Vérifier que l'on a g(x/2)=g(x)/2 (trivial) pour tout x en déduire que l'on ag(x+Y)=g(x)+g(y).
Déterminer la fonction f.
g(\frac {x+y}{2})=\frac {g(x)+g(y)}{2}\\ en utilisant la question trivial on trouve facilement que g(x+y)=g(x)+g(y)
soit n de lN g(n)=n g(1)( par recurrence)
de meme g(n*1/m)=n g(1/m)
g(m*1/m)=m*g(1/m)
g(1/m) =g(1)/m
d ou g(n/m)=n/m g(1)
x de lR
il existe x_i de 
tel que x_i
x
par passage a la limite on verifie que g (x)=kx
N'oublie pas les quantificateurs dans tes rédactions :
Tu cherches S = {f : 
| f continue et 
(x,y) 
2 f((x+y)/2) = (f(x) + f(y))/2 }
1.S contient toute les hc ; x 
cx ( c )
2.Soit f S .
Soit (s,t) 2 . Si on pose x = y = (s + t)/2
on a f(x + y) = f(x) + f(y) .
Soit F : x 
0x f .
On a : F(x + 1) = F(x) + f(x) + 1/2 pour tout x et donc f est dérivable .
Soit y .l'application x f(x + y) -f(x) est constante et dérivable donc pour tout x on a : f '(x + y) = f '(x) .
Cela étant valable pour tout y on voit que f ' est constante et si 
est la seule valeur qu'elle prend on a f = h.
On a donc S = { h | }.
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