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Limites, exponenetielles

Posté par
Stylex 11-01-10 à 21:38

Bonsoir à tous.

Voici une limite, probablement triviale mais qui me laisse perplexe (Maxima me donne un tout autre résultat):

\lim_{x\to 0} (x+e^{2x})^{\frac{1}{x}}

Je réécris: \lim_{x\to 0} (x+e^{2x})^{\frac{1}{x}}=e(\frac{x}{e^x}+e^2)^{\frac{1}{x}}

Alors en posant y=\frac{1}{x}, y tend vers l'infini lorsque x tend vers 0^+ et vers - l'infini lorsque x tend vers 0^-.

Et j'ai: \lim_{y\to -\infty}e(\frac{1}{ye^{\frac{1}{y}}}+e^2)^y=0 et \lim_{y\to \infty}e(\frac{1}{ye^{\frac{1}{y}}}+e^2)^y=\infty .

Qu'est-ce qui ne va pas?

Merci d'avance.

Posté par
Narhmre : Limites, exponenetielles 11-01-10 à 22:17

Bonsoir,

J'avoue avoir un peu de mal à comprendre tes égalités... A la premier ligne on ne comprend plus.

Le réflexe dans ce genre de situation, c'est à dire quand la variable est mise en exposant, c'est d'utiliser l'écriture exponentielle : 3$ (x+\exp(2x))^{\fr{1}{x}}=\exp(\fr{1}{x}\ln(x+\exp(2x))). Apres quoi il suffit de décortiquer ce bidule.

Remarque que :
3$ \lim_{x\to 0} \ \fr{\ln(x+\exp(2x))}{x} est le taux d'accroissement d'une certaine fonction en 0. Ca t'évitera d'employer les Dl ou autre.

Au final, tu dois trouver exp(3) comme limite.

Posté par
Stylexre : Limites, exponenetielles 11-01-10 à 22:44

Bonsoir,

Donc calculer la limite de cette fonction revient à calculer la dérivée de ln(x+exp(2x)).

Merci bien   et bonne soirée.

(Et désolé pour mes égalité, je me suis emmêlé les pinceaux.)

Posté par
Narhmre : Limites, exponenetielles 11-01-10 à 22:47

En gros le vrai probleme se ramene à calculer la limite de ln(x+exp(2x))/x en 0.
Apres on a toujours différente méthode. Je ne faisais que te proposer celle du taux d'accroissement.


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