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limites (justification)

Posté par
florian2 25-08-07 à 01:48

bonsoir,
etudier les limites suivantes:
1)lim (x--->+inf)(x+1)-(x-1)
2)lim (x--->+inf) (2x+sinx)/x
3)lim (x--->pi/3)(cosx-(1/2))/(x-(pi/3))
4)lim(x--->0)((1+x+x²) +1))/(x+sinx)

1)je trouve +inf (mais je ne trouve pas de justification)
2)je trouve 2 (mais je ne trouve pas de justiication)
3)je trouve -(3/2) (la j'ai trouvé la justification)
4)je trouve 1/2 mais normalement je dois trouver 1/4 ,je ne vois pas d'ou vient mon erreur...
f(x)=(1+x+x²)=x
(f(x)-f(0))/(x-0)=f'(0)
or (x)'=1/2x=1/(2(1+0+0)=1/2

merci de bien vouloir m'aider à justifier les limites 1 et 2
et de corriger la limite 4)

Posté par
Cauchyre : limites (justification) 25-08-07 à 02:08

Bonsoir,

pour la première multiplie en haut et en bas par 3$\sqr{x+1}+\sqr{x-1}.

Pour la seconde, rappelle toi que le sinus est borné.

Posté par
laprasre : limites (justification) 25-08-07 à 11:37

salut,
pour la 2 c'est bon
Justification :
(2x+sin(x))/x = 2 + sin(x)/x or 1<=sin(x)<=-1 donc sin(x)/x quand x->+OO = 0
donc la limite est 2.
3)

lim (cosx-(1/2))/(x-(pi/3))
x->pi/3

Utilise le théoreme de l'hospital (ou bien juste les aaccroissements)
tu trouves -sqrt(3)/2 normalement !

4)
lim((srqt(1+x+x²) +1))/(x+sinx)
x->0

Tu es sur de l'énoncé ?

Posté par
florian2re : limites (justification) 25-08-07 à 12:10

bonjour,pour la limite 1,j'ai multiplié par la quantité conjuguée,et j'obtiens une limite sous la forme:
lim 2/(((x+1) + (x-1))<=>lim 2/((+)+((+)=2/(+)=0

pour la limite 2,j'applique :-1<sinx<+1
lim (-1+2x)/x<(sinx+2x)/x<(1+2x)/x<=>lim 2<(sinx+2x)x<2
d'ou lim (x--->+inf) (sinx+2x)/x=2

pour la limite 3,je trouve -V(3/2)

pour la limite 4,je trouve 1/2 au lieu de 1/4 ...

merci de bien vouloir corriger ces résultats.

Posté par
florian2re : limites (justification) 25-08-07 à 12:51

bonjour,
pour la limite 1,j'ai multiplié par la quantité conjuguée,et j'obtiens une limite sous la forme:
lim 2/(((x+1) + (x-1))<=>lim 2/((+)+((+)=2/(+)=0

pour la limite 2,j'applique :-1<sinx<+1
lim (-1+2x)/x<(sinx+2x)/x<(1+2x)/x<=>lim 2<(sinx+2x)x<2
d'ou lim (x--->+inf) (sinx+2x)/x=2

pour la limite 3,je trouve -V(3)/2

pour la limite 4,je trouve 1/2 au lieu de 1/4 ...

merci de bien vouloir corriger ces résultats.

Posté par
cailloux Correcteurre : limites (justification) 25-08-07 à 14:48

Bonjour,

Tes 3 premières limites sont justes (aux notations près).

Je pense que tu as une erreur d' énoncé dans la 4ème:

\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x+x^2}-1}{x+sin\,x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x+x^2}-1}{x}\;.\frac{1}{\frac{x+sin\,x}{x}} en faisant apparaître 2 taux de variation en 0 pour les fonctions x\,\mapsto \sqrt{1+x+x^2} et x\,\mapsto x+sin\,x

\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x+x^2}-1}{x+sin\,x}=\left[\frac{2x+1}{2\sqrt{1+x+x^2}}\right]_{x=0}\;.\frac{1}{\left[1+cos\,x\right]_{x=0}}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{4}.

Posté par
florian2re : limites (justification) 25-08-07 à 18:59

je ne comprends pas la ligne n°1 de la 4ème limite (post de 14:48)

Posté par
florian2re : limites (justification) 25-08-07 à 20:02

cailloux pourrais tu m'expliquer la 1ere ligne de ton calcul stp?

Posté par
cailloux Correcteurre : limites (justification) 25-08-07 à 20:16

Bonjour florian2

J' ai simplement écrit:

3$\frac{a}{b}=\frac{a}{c}.\frac{c}{b}=\frac{a}{b}.\frac{1}{\frac{b}{c}}

Avec a=\sqrt{1+x+x^2}

b=x+sin\,x

c=x

Posté par
cailloux Correcteurre : limites (justification) 25-08-07 à 20:17

Euh: a=\sqrt{1+x+x^2}-1


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