Je pose S = {(I,y)| I intervalle ouvert de , f : I , derivable et y '(x) = 1/(1 + x² + y²) , pour tout x I }
S_m désignera l'ensemble des éléments maximaux de S (pour la relation de prolongement)

1. Le théorème de Cauchy assure que pour tout (a,b) ² il existe des (I,y) de S tels que a I et y(a) = b.
Soit donc (U,f) S .
   Il est clair que f ' est croissante et que pour tout x de U on a :  y '(x)   1(1 + x²) . Si c U , x U et x c on a donc y(x) -y(c) Arctan(x) - Arctan(c) . f est donc majorée .
Supposons t = Sup(U) < +. Lorsque x tend vers t (en restant dans U) f(x) tend donc vers un réel b . Soit (I,y) S tel que y(t) = b .
V = I U est un intervalle ouvert . Soit g : V définie par g = f sur U et g = y sur I \ U .
Il est facile de voir que (V,g) S . (V,g) prolonge donc (U,f) mais ne lui est pas égal de sorte que (U,f) S_m.  
On montre de la même façon que si Inf U > - alors (U,f) S_m.
Cela montre que si (U,f) S_m alors U = .
2. Soit (,y) S_m. y est croissante et bornée donc lorsque x tend vers + (rep. vers -) f(x) tend vers un réel L₊  (resp. L_-)


3.Que signifie Trouver une equation de y-L.

Merci pour ta reponse et excuse moi pour le retard...dans la premiere question, je ne comprends pas comment tu montres que infU est -infini: pour le sup tu savais que la limite existait et etait finie car y est majoree et strictement croissante. Pour le inf, comment sais tu que cette limite est finie?

La 3 question est en fait: donner un equivalent de y-L. Desole jai mal recopie!!!
Merci encore!

  Pour s = Inf(U) =  - ,  tu montres que si ce n'est pas vrai  , lorsque x tend vers s (en restant dans U) f(x) tend  vers un réel (elle est croissante et pour x c , f(c) - f(x) Arctan(c) - arctan(x) donc f est minorée )

Aaah! Ok daccord!! Merci beaucoup!! Aurais tu une idee pour la 3e question??? Pour le coup jai aucune idee de comment proceder!!! :S

Pour tout x , L - f(x) = _x⁺ f ' = _x⁺ g  où 1/g(t) = 1 + t² + (f(t))²) .
Il existe X ₊ tel que pour x X on ait : |f(x) - L| 1 . Pour x X on a donc |f(x)| m = 1 + |L| donc si t x on a : 1 + t² 1/g(t) 1  + m² + t² .
Il en résulte que L - f(x) _x⁺ 1/(1 + t²)dt = arctan(1/x) 1/x et aussi
L - f(x) _x⁺ 1/(1 + m²) + t²)dt = c.arctan(c/x) (où c = (1 + m²))^1/2  .
On a donc L - f(x) 1/x

Ah ouai... Ok merci beaucoup! Jaurais jamais touve sans ton aide! Merci beaucoup!