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limte

Posté par
sabaga 18-12-11 à 16:26

    
je cherche à une méthode pour calculer
\lim_{x\rightarrow +\infty }(\frac{x+cos(x)}{2+sin(x)})

mais je ne peux pas .
aidez-moi mes

Posté par
GGennre : limte 18-12-11 à 16:28

le théorème des "gendarmes" t'est-il connu ???

Posté par
sabagare : limte 18-12-11 à 16:45

monsieur c.v.p
  expliquer plus

Posté par
kybjmre : limte 18-12-11 à 16:46

Pour x > 0 tu as : (x+cos(x))/(2+sin(x))) = x(1+cos(x)/x)/(2+sin(x)) x(1+cos(x)/x)  

Posté par
DHilbertre : limte 18-12-11 à 16:58

Remarquons que, pour x dans \R, l'on a
-1\leq\sin x\leq 1, si bien que 1\leq 2+\sin x\leq 3, soit \frac{1}{3}\leq\dfrac{1}{2+\sin x}\leq 1. Pour x>1, l'on remarque que x+\cos x>0 de sorte que \frac{x+\cos x}{3}\leq\dfrac{x+\cos x}{2+\sin x}\leq x+\cos x.

A +

Posté par
DHilbertre : limte 18-12-11 à 17:03

Je viens d'utiliser un encadrement que l'on peut affiner encore afin d'utiliser le théorème des gendarmes.

Hint: Pour tout x dans \R, -1\leq\cos x\leq 1, si bien que x-1\leq\x+cos x\leq x+1. [...]


Je te laisse finir et conclure.

A +

Posté par
sabagare : limte 18-12-11 à 17:40

merci monsieur DHilbert

Posté par
sabagare : limte 18-12-11 à 19:01


\[\begin{array}{l} \\ \forall x > 0:\frac{{x + \cos x}}{{2 + \sin x}} = x\left( {\frac{{1 + \frac{{\cos x}}{x}}}{{2 + \sin x}}} \right) \ge x\left( {1 + \frac{{\cos x}}{x}} \right)\\ \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } x\left( {1 + \frac{{\cos x}}{x}} \right) =  + \infty  \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\frac{{x + \cos x}}{{2 + \sin x}}} \right) =  + \infty \\ \end{array}\]

Posté par
sabagare : limte 18-12-11 à 19:28


désolé l'Expression précédente pas juste

(C) DAR EL RATEB EL JAMEIYA 1999 DICTIONNAIRE FRANCAIS - FRANCAIS-ARABE

\[\begin{array}{l} \\ \forall x > 0:\frac{{x + \cos x}}{3} \le \frac{{x + \cos x}}{{2 + \sin x}} \le x + \cos x\\ \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x + \cos x}}{3} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } x + \cos x =  + \infty  \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\frac{{x + \cos x}}{{2 + \sin x}}} \right) =  + \infty \\ \end{array}\]

Posté par
DHilbertre : limte 18-12-11 à 19:41

Pour moi, c'est OK !

A +


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