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ln(a)+ln(x)=ln(ax)

Posté par
Stratiotes
25-03-09 à 10:35

Bonjour, comme l'indique le titre, j'ai un problème avec cette formule, et surtout avec sa démonstration.
Je m'explique, de cette formule, on en extrait l'idée selon laquelle ln(ax)-[ln(a)+ln(x)]=0
Et comme a=b ln(a)=ln(b)ln'(a)=ln'(b)
Donc, comme on ne peut vérifier la formule à partir de ln, on dérive tout, on me dis que ln'(ax)= \frac{1}{x}, ce avec quoi je suis d'accord, au vu de la démonstration donnée, mais on me dis aussi que [ln(a)+ln(x)]'=ln'(x)= \frac{1}{x} et ce sans démonstration aucune, et je ne comprends pas pourquoi, quelqu'un pourrait-il avoir la gentillesse de m'expliquer? En vous remerciant d'avance.

Posté par
Stratiotes
Correction d'erreurs 25-03-09 à 10:37

Bonjour, comme l'indique le titre, j'ai un problème avec cette formule, et surtout avec sa démonstration.
Je m'explique, de cette formule, on en extrait l'idée selon laquelle ln(ax)-[ln(a)+ln(x)]=0
Et comme a=b ln(a)=ln(b)ln'(a)=ln'(b)
Donc, comme on ne peut vérifier la formule à partir de ln, on dérive tout, on me dis que ln'(ax)= /frac{1}{x}, ce avec quoi je suis d'accord, au vu de la démonstration donnée, mais on me dis aussi que [ln(a)+ln(x)]'=ln'(x)= /frac{1}{x} et ce sans démonstration aucune, et je ne comprends pas pourquoi, quelqu'un pourrait-il avoir la gentillesse de m'expliquer? En vous remerciant d'avance.

Posté par
Stratiotes
re : ln(a)+ln(x)=ln(ax) 25-03-09 à 10:39

Manifestement il semble que j'ai un problème avec les fractions, du moins pour les écrire, donc /frac{1}{x} veut dire 1/x.

Posté par
Labo
re : ln(a)+ln(x)=ln(ax) 25-03-09 à 11:15

Bonjour
pour obtenir la fraction ,
il faut mettre les balises ,en cliquant  sur LTX sous le cadre
et écrire entre les balises \frac{1}{x}
\frac{1}{x}
[ln(a)+ln(x)]'=ln'(x) car lna=constante==> (lna)'=0

Posté par
J-P Correcteur
re : ln(a)+ln(x)=ln(ax) 25-03-09 à 11:32

Si tu es d'accord avec (ln(ax))' = 1/x, alors si a = 1, on a (ln(x))' = 1/x

[ln(a)+ln(x)]' = (ln(a))' + (ln(x))' puisque la dérivée d'une somme égale la somme des dérivées.

Or (ln(a))' = 0 (puisque la dérivée d'une constante est nulle).

--> [ln(a)+ln(x)]' = (ln(a))' + (ln(x))' = 0 + (ln(x))' = 1/x
-----
Sauf distraction.

Posté par
kyhtagore
re 25-03-09 à 16:30

Salut,
a = constante,
tu sais que la dérivée d'une somme est égale à la somme des dérivées,
alors, [ln(a) + ln(x)]' = ln'(a) + ln'(x)
(a étant une constante ==> ln(a)= constante ==> ln'(a)= 0. Car tu sais que la dérivée d'une constante donne 0.)
       [ln(a) + ln(x)]' = ln'(x)
==>    [ln(a) + ln(x)]' = 1/x

Posté par
Stratiotes
Oui mais... 25-03-09 à 18:49

Tout d'abord, merci à vous deux de m'avoir aidé, un petit préambule pour illustrer ce qui va suivre:
f(x)=x2, le carré représente f f(x)=ln(x), ln représente f.

Maintenant, ce qui me pose problème: Vous me dîtes que ln(a) est une constance, ce avec quoi je suis d'accord uniquement si elle est sous la forme f(x)=ln(a), à moins que vous ne voyiez, vous, une autre possibilité pour qu'elle soit constante.
Mais alors, ma première question est la suivante:
Dans les livres de mathématiques, ainsi que dans mon cour, la fonction f(x)=ln(x) est souvent représentée juste par ln(x). Cela ne pose aucun problème tant qu'il y a le x, car si ce dernier vient à être remplacé par une donnée chiffrée, ici a, alors comment faire la différence entre ln(a)signifiant f(x)=ln(a), qui équivaut à une constante et dont la dérivée est égale à 0, et f(a)=ln(a), qui, elle, représente un point, ici a, de la fonction f(x)=ln(x), dont la dérivée est 1/x, et donc pour a, 1/a ?
J'en arrive à ma seconde question:
(Ici, je me dois de préciser un oublie, l'intitulé de mon post, soit ln(a)+ln(x)=ln(ax), n'est, dans mon cours, que la formule qui va me servir à prouver ln(ab)=ln(a)+ln(b).) Sachant que f(x)=ln(a), à ma connaissance seule possibilité pour que ln(a) soit constante, est-il cohérent de me montrer cette exemple pour me prouver que ln(ab)=ln(a)+ln(b)?
En effet, je crois cette formule pourrait s'écrire [f(ab)=ln(ab)]=[f(a)=ln(a)]+[f(b)=ln(b)], alors que la formule dont on se sert pour me la démontrer, à savoir ln(a)+ln(x)=ln(ax), s'écrit, elle, sous la forme [f(ax)=ln(ax)]=[f(x)=ln(a)]+[f(x)=ln(x)]. Cela ne fausse--t-il pas la démonstration?
En espérant que vous pourrez répondre ) mes 2 questions, qui conditionnent ma poursuite de ce chapitre xD.
Bien amicalement.

Posté par
Stratiotes
re : ln(a)+ln(x)=ln(ax) 25-03-09 à 22:39

Une réponse s'il vous plaît xD

Posté par
J-P Correcteur
re : ln(a)+ln(x)=ln(ax) 26-03-09 à 09:31

Tu cherches des complications là où il n'y en a pas.

Si a est une constante (strictement positive), alors ln(a) est une constante.
Et il n'y a nul besoin de DEVOIR écrire cela f(x) = ln(a) pour que ln(a) soit une constante... Mais il faut préciser que a est une constante > 0.

Ensuite tu confonds 2 choses qui sont pourtant bien différentes :

a) f '(a) qui est la valeur de la dérivée par rapport à x de f(x) lorsque x vaut a
b) (f(a))' qui est la dérivée par rapport à x de la constante f(a).

Et avec f(x) = ln(x)
On a : f '(x) = 1/x
---> f '(a) = 1/a

Mais on a f(a) = ln(a)
(f(a))' = (ln(a))' = 0
-----
Le problème vient de la notation de la dérivée par un prime ('), cette notation est pratique mais prète à confusion car elle ne dit pas explicitement par rapport à quelle variable la dérivée a été faite.

Une notation plus explicite pour la dérivée première par rapport à x de la fonction f(x) est : \frac{d\ f(x)}{dx}, là, le dx indique sans ambiguité que la dérivée est faite par rapport à x

Et dans le cas de (f(a))', si la dérivée est faite par rapport à x, on notera cela : \frac{d\ f(a)}{dx}

Et il ne faut pas confondre :

ceci : \frac{d\ f(a)}{dx} qui vaut 0

et ceci: (\frac{d\ f(x}{dx})_{(a)} avec a > 0, qui vaut 1/a si f(x) = ln(x)

Sauf distraction.

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