Bonjour,

(a) La probabilité cherchée me semble être

Nicolas

pour nicolas ! attention ta reponse c'est le calcul de la proba d'obtenir EXACTEMENT 10 bonnes reponses.

il faut caluler à mon avis P=P10+P11+P12+....+P50 car on demande la proba d'obtenir AU MOINS 10 bonnes questions , ce qui fait P= SOM (C50,k.4^(50-k))/5^50.

Autant pour moi.

Bonsoir,

Lorsque n est assez grand  (on donne parfois comme condition que np et n(1-p) doivent être > 10, ce qui est le cas ici) tu peux approximer la loi binomiale  B(n,p) par la loi normale qui a même moyenne et même écart-type, donc la loi N(np,[np(1-p)]). Ensuite tu te ramènes à la loi normale réduite et tu utilises la table ...

pour la seconde question il suffit de chercher k tel que

C50,k.4^(50-k)/5^50 < 0,1  k etant le nombre exact de bonne reponses

Ok, merci de vos réponses.
Donc selon vous il n'y a pas de méthode qui ressemblerait à celle de la loi normale afin de se ramener dans les tables...

Je dois partir ce matin mais j'essaierai ce midi avec les techniques proposées (approximation).

J'ai une feuille de correctif sur laquelle il est noté ça pour la résolution :

P(X >= 10) = 1 - F(9) = 0.5562
et il est noté à coté "par formule de récurrence F(9) = 0.4457"

Ce qui voudrait dire que la personne a additionné à la main les 9 probabilités? J'ai l'impression que c'est un calcul vraiment long à faire (et que je n'aurai peut-être pas le temps de faire à l'examen )

Merci pour vos réponses en tout cas !

Salut,

En utilisant l'approximation normale je trouve  P(X>9.5) = 0.57.

C'est vrai qu'il existe une formule de récurrence pour calculer les probabilités de la loi binomiale :
tu cherches à calculer p(k) = C(n,k)p^k(1-p)^n-k;
tu as
                p(0) = (1-p)ⁿ;  F(0) = p(0);

                

                F(k) = p(k) + F(k-1);

pour k = 1,2,...,n.

Pour ton problème j'ai trouvé F(9) = 0.4437 .  C'est peut-être bien la méthode utilisée dans ton corrigé (es-tu sûr du 5 dans 0.4457 ?)

Oui j'ai du me tromper pour le 5.

Merci pour ton aide Pil, pour un x < 10 je ferai le calcul à la main, sinon j'approximerai avec la loi normale.

Je suppose que le prof ne chicanera pas sur une méthode utilisée et une réponse qui diffère un petit peu.

Bonsoir à tous !

Je me permets de revenir vers vous car j'ai un problème du même type mais l'approximation par la loi normale ne fonctionne pas...

Dans un exercice, je dois calculer la probabilité qu'une récolte de sapins soit excellente. Pour cela, il faut que 80% des sapins mesurent + de 170 cm.

J'ai calculé la probabilité qu'un sapin fasse plus d'1m70 pour les différents sols (il y a un sol acide, 1 sol basique et un sol au pH moyen).

Je trouve

P(X > 170 | moyen) = 0.8944
P(X > 170 | acide) = 0.5
P(X > 170 | basique) = 0.0228

Dans mon corrigé, la suite de la solution est donnée comme ceci :

On déclare pour chacun des cas, une variable Y binomiale (50,p) et on calcule la P(Y >= 40).

Première question : Le 50 est bien pris comme "exemple" pour "tester" 50 sapins ?
Deuxième question : Lorsque j'essaie d'approximer par la loi normale N(np,np(1-p)), je trouve des valeurs qui ne sont pas dans la table. Même après être passé par la loi normale réduite.

Dans la solution il est noté "on calcule alors par récurrence". Mais je n'en démords pas, je ne vais pas faire 40*3 additions ? oO

J'ai mon examen samedi matin à 9h ... J'espère que vous pourrez m'aider d'ici là

Salut Pyo,

Première question : C'est comme ça que je le comprends.
Deuxième question :
Dans les deux premiers cas on peut utiliser l'approximation normale :
1) Le cas p=0.5 avec n=50, c'est clair. Mais est-il nécessaire de calculer ?  Si p=0.5 on a =np=25 et =(npq)=5.3 et tu sais que 99,7% des valeurs se trouvent dans l'intervalle [-3,+3] = [9.1,40.9] ; tu vas trouver P(Y40) 0.
2) Le cas p=0.8944 est un peu limite, mais d'après Kreyszig(Introductory math. statistics) on peut utiliser l'approximation normale si np>5 lorsque p<=0.5 et si nq>5 lorsque p>0.5. On a np=44.72 et nq=5.28. On a donc =44.72 et =2.17;  P(Y40) = 1 - P(Y<40) = 1 - P[(Y-44.72)/2.17 < (40-44.72)/2.17] = ... = 0.985.
3) Dans le cas p=0.0228 tu as np=1.14; l'approximation normale est exclue mais tu peux utiliser l'approximation par la loi de Poisson de paramètre 1.14. Seulement là aussi il me semble inutile de calculer : avec une moyenne de 1,14 dans un groupe de 50,  la probabilité d'en avoir plus de 40 est nulle !
Est-ce clair pour toi ?

Bonjour,

merci de ta réponse

Cependant :

1) Pour l'écart type = racine(npq), je trouve sqrt(50*0.5*(1-0.5)) = 3.53 (tu as peut-être fait 1 erreur de frappe).
Et comment sait-on qu'on a 99.7% de chance d'être dans cet intervalle ?

2) Pour moi, np = 50*0.9862=49.31. Et pour nq ... hum, comment trouves-tu 5.28 ?
Pour le reste du calcul, je suis ok.

3) Ok

Salut,

1) D'accord, = 3.5, donc l'intervalle [-3,+3] = [14.5,35.5]; le fait qu'il y ait 99.7 % des valeurs dans cet intervalle est un classique, et se vérifie immédiatement avec une table de la loi normale.

2) Avec p = 0.8944 tu as bien np = 44.7 (pourquoi as-tu pris 0.9862 ?)

A toi !

1) Donc, c'est une généralité de dire que 99.7% des valeurs se trouvent dans l'intervalle [moyenne - écart type ; moyenne + écart type]. ça peut toujours être utile

2) A mon avis, j'avais une feuille d'un autre exercice sous les yeux quand j'ai calculé le np

Merci pour ton aide Pil !

Je suis entrain de refaire une batterie d'exercices, je viendrai faire un p'tit coucou si j'ai de nouveau un problème (mais j'espère que non )

Bonne journée!

1) Non, attention, je précise : pour la loi normale il y a
i)   68.3 % des valeurs entre - et +;
ii)  96.4 % des valeurs entre -2 et +2;
iii) 99.7 % des valeurs entre -3 et +3.

Tout de bon pour la suite !

petite erreur :
ii)  95.4 % ...

Ok merci pour ces infos

A très bientôt peut-être !

Voilà, j'ai eu mon exam hier ... Et ça été je pense
Je n'ai pas eu à faire à une approximation de la loi binomiale. (Et j'ai eu quelques petits soucis avec un couple de variables aléatoires, je me suis retrouvé avec une proba de 1.22 )

Salut Pyo,

Très bien et merci de m'avoir donné des nouvelles, ça me fait plaisir. Note qu'avec une probabilité de 1.22, l'essentiel, c'est de se rendre compte qu'il y a quelque chose qui cloche ...