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Ls fonctions
Bonjour,
J'étudie par correspondance et j'ai un exercice où j'ai un peu de mal:
Enoncé
On définie sur ]-1/2 ; +
] la fonction f par :
f(x) = arcsin(2x) si x 
0
f(x) = sin3(4x)cos²(6x)
Calculer sa dérivée.
Ma réponse :
f'(x) = 12(cos(4x).sin²(4x).cos²(6x) - sin3(4x).sin(6x).cos(6x))
On me demande si elle est dérivable en 0.
J'ai répondu que oui car f'(0) = 0
Et dernière question où je coince est la suivante.
Donner le plus grand intervalle comprenant 0 sur lequel f est strictement croissante.
Pour cette question je ne vois pas comment étudier le signe de la dérivée. J'ai pensé à quelques idées qui sont les suivantes :
remplacer cos(4x) par 2cos²(2x) - 1 car un carré est toujours positif
et sin(6x)cos(6x) par 1/2(sin 12x)
Mais je suis toujours coincé.
Est ce qu'il serait possible de regarder mes réponses et de me dire si j'ai des erreurs et de me guider pour la dernière question.
Merci d'avance
Ludovic
j'ai oubié d'indiquer quelque chose dans la définition de la fonction :
f(x) = arcsin(2x) si x 0
f(x) = sin3(4x)cos²(6x) si x > 0
Merci d'avance
Ludovic
Salut.
Attention : tu calcules ta dérivée pour x>0. La partie de définition de f pour x<0 doit être dérivée aussi. Et alors f sera dérivable en 0 ssi ( où j'appelle
les restrictions de f à droite et à gauche de 0).
Ensuite la partie en arcsinus de f est croissante, donc si I est l'intervalle qu'on te demande, .
Il te reste à voir le sens de variation de f pour les valeurs positives pour compléter I.
Bonjour Simpom, tout d'abord, merci d'avoir répondu.
En effet j'avais oublié de la mettre.
Pour x 0 on a f'(x) =
Pour la dérivabilité en 0 je calcule f'(0) avec la première dérivée ce qui me donne 2 et avec la deuxième dérivée j'obtient 0 donc elle n'est pas dérivable en 0 puisque j'obtient deux résultats différents.
Est ce que j'ai bon, et ma dérivée pour x > 0 est-elle correcte.
Concernant les variations, je suis d'accord avec vous pour la fonction arcsin.
Mais comment je fais pour trouvéer le signe de la dérivée pour x > 0.Est ce que je dois faire des testes avec un tableau de valeurs où il y a une autre idée. Je sais que la fonction sin est croissante sur [0 ; 
/ 2] et la fonction cos est croissante sur [ ; 2] mais je ne vois pas comment je peux faire.
Merci d'avance
Ludovic
Je suis en train de remettre au propre, mais je commence à my perdre en effet je suis en train de confondre f et sa dérivée.
Pour montrer la dérivabilité en 0 on calcule la limite à droite et à gauche de 0 et je trouve pour les deux 0 donc je peux en déduire qu'elle est dérivable en 0
Est ce que c'est bon.
Merci d'avance
Ludovic
J'ai pensé à étudier la parité (elle est paire le fonction définie pour x > 0)
et j'ai également pensé à la périodicité et elle est péridique de période /2
Mais je n'arrive toujours pas à trouver les variations.
Un peu d'aide s'il vous plait.
Merci d'avance
Ludovic
Pour faciliter les écritures, j'appelle f1 la restriction de f aux valeurs négatives ou nulles, et f2 aux valeurs strictement positives.
Alors pour la dérivabilité en 0, ce qui compte ce n'est pas que f1(0)=f2(0) (là c'est une démonstration de la continuité de f en 0), mais que f1(-epsilon)/-epsilon = f2(epsilon)/epsilon
(ie égalité des taux de variations une fois supprimés les f(0)=0).
Ce qui n'est pas le cas. Donc f n'est pas dérivable en 0 (je n'ai pas la représentation graphique, mais j'imagine qu'il y a une "cassure" de la pente de la fonction en 0).
Ensuite pour le signe de la dérivée, mets en facteur tout ce que tu peux, utilises une formule du style cos(a+b), et tu devrais te retrouver avec uniquement un produit de facteurs, bcp plus facile d'en étudier le signe !
J'ai réussi à résoudre mon exercice et je tenais à vours remercier Simpon. Peut-être à une prochaîne fois.
Merci encore
Ludovic
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