Niveau école ingénieur

Majoration d'une intégrale

Posté par
Padri 08-10-08 à 02:13

Bonjour,

j'essaye de démontrer un théorème et j'aurais besoin d'aide. Je bloque au milieu de ma démonstration.
J'aimerais majorer l'intégrale suivante :

$\int_x^y \lim_{h\rightarrow 0}\left(\frac{1}{|h|}\int_z^{z+h}f(t)dt\right)dz$

où $x<y$ et $f\geq 0$

par

$\int_x^y f(t)dt$ .

Est-ce que c'est possible ?
Je n'arrive pas à démontrer cela.
Merci.

Posté par re : Majoration d'une intégrale 08-10-08 à 02:35

Est-ce que c'est correct si je fais :

soit F la primitive de f.
On a :

$\lim_{h\rightarrow 0} \frac{1}{|h|}\int_z^{z+h}f(t)dt=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{F(z+h)-F(z)}{|h|}=F'(z)=f(z)$

(ce qui me gêne c'est que l'on a la valeur absolue de h et non h seulement, mais bon comme il tend vers 0, peut-être que ça marche quand même...)
et donc :

$\int_x^y \left(\lim_{h\rightarrow 0} \frac{1}{|h|}\int_z^{z+h}f(t)dt\right)dz=\int_x^y f(z)dz$

?

A votre avis?

Posté par re : Majoration d'une intégrale 08-10-08 à 08:53

Si f(x) n'est pas constamment nulle, je pense que la limite $\lim_{h \to 0} \frac{1}{|h|} \int_z^{z+h} f(t)dt$ n'existe pas !

En effet : $\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_z^{z+h} f(t)dt = f(z)$
Par conséquent :
$\lim_{h \to 0^+} \frac{1}{|h|} \int_z^{z+h} f(t)dt = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_z^{z+h} f(t)dt= f(z)$
Par contre :
$\lim_{h \to 0^-} \frac{1}{|h|} \int_z^{z+h} f(t)dt = - \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_z^{z+h} f(t)dt= - f(z)$

Donc si f(z) n'est pas égal à - f(z) la limite pour h tendant vers 0 n'existe pas !

Sauf erreur !

Posté par re : Majoration d'une intégrale 08-10-08 à 13:11

C'est justement ça ma question : est-ce que ce que j'ai écrit est correct?
Tu viens de me démontrer que non mais peut-être que la limite de l'intégrale est majorée par la fonction alors. Dans ce cas, ça devrait marcher. Je voulais d'ailleurs la majorer.

Est-ce que c'est correct dans ce cas?
Dans mon raisonnement écrit au 2e post, on aurait alors :

$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{F(z+h)-F(z)}{¦h¦}\leq f(z)$

Qu'est-ce que vous en pensez?

Posté par re : Majoration d'une intégrale 09-10-08 à 08:15

Désolé d'insister ! La question n'est pas là ! On n'en est pas à trouver une majoration ! Je pense avoir démontré que la limite elle-même n'existe pas ! Comment veux-tu intégrer un truc qui n'existe pas ? A fortiori en majorer l'intégrale qui existe "encore moins" !

Citation :
peut-être que la limite de l'intégrale est majorée par la fonction alors

Il ne s'agit pas de la limite de l'intégrale, mais de la limite du rapport de l'intégrale à |h| !

Tu dis que la valeur absolue t'embête ! Normal, c'est exactement ce que voulais celui qui t'a posé l'exercice !

Ecrire $\lim_{h \to 0} \frac{F(z+h)-F(z)}{h}=f(x)$ c'est correct !
Ecrire $\lim_{h \to 0} \frac{F(z+h)-F(z)}{|h|} \le f(x)$ ça ne l'est pas, car le membre de gauche n'existe pas ! Comment veux-tu qu'un truc qui n'existe pas soit inférieur ou égal à f(x) ?

Enfin, c'est mon avis ! (Mais je peux me tromper : "même le singe tombe de l'arbre !" (proverbe chinois))

Posté par re : Majoration d'une intégrale 09-10-08 à 13:32

Désolé, j'ai enfin compris, c'est toi qui a raison.
Merci de ton aide.

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