Bonjour,
J'ai un problème de math que je n'arrive pas à résoudre :
"Un étudiant place tous les ans, en début d'année, pendant 5 ans, une somme de 300.- à la banque. Quel montant obtient-il à la fin de la 5ème année si le taux d?intérêt est chaque année de 3% ?"
Merci d'avance pour votre aide
Loïc
malou > ***forum modifié***
Bonjour,
Dans ce genre d'exercice, il faut penser à la notion de suite.
Appelons (Sn) la suite définie par S0 = 300
et Sn) = somme obtenue au bout de n années de placement
Comment trouver S1, puis S2 ?
Puis généralisons comment trouver Sn+1 en fonction de Sn ?
Oui mais avant de placer la première unité il a 0.
S1 = 300 + 0,03*300
S2 = S1 + 300 + 0,03(S1 + 300)
Sn = Sn-1 + 300 + 0,03(Sn-1+300)
S1 = 300 + 0,03*300 = 300(1 + 0,03) = 300 * 1,03 = 309
S2 = S1 + 0,03*S1 = S1(1 + 0,03) = S1 * 1,03 = 309 * 1,03 = 318,27
Et pas ce que tu écris !
J'avais pas vu ..... en effet ...... il met tous les ans 300unités ..... tu as raison ..... j'avais mal lu l'énoncé .....
S1 = 1,03*S0 + 300
S2 = 1,03*S1 + 300
et Sn+1 = 1,03*Sn + 300
Pas de soucis, ça arrive à tout le monde (moi le premier^^)
J'ai une autre question du coup :
Supposons que je veuille calculer S342
Comment je fait sans pour anûtant devoir calculer S1,..., 341 (ça me prendrait la journée^^
Autrement dit, comment pourrais-je faire pour avoir Sn en fonction de n et non de Sn-1 ?
En principe au lycée, on introduit une nouvelle suite donnée (Vn) qui elle sera géométrique permettant de calculer Vn en fonction de n.
Si cette suite n'est pas donnée il faut trouver les réels a et b tels que la suite définie par
Vn = aSn + b soit géométrique
La suite (Vn) étant géométrique de 1er terme V0 = S0 + 10000 = 10300 et de raison q = 1,03
Vn = V0* qn = 10300* 1,03n
Or Vn = Sn + 10000
donc Sn = Vn - 10000 = 10300* 1,03n - 10000
Il faut savoir que si une suite arithmético-géométrique est définie par
Un+1 = aUn + b avec a 0 et a1 et b 0 (sinon on est en présence soit d'une suite constante soit d'une suite arithmétique ou d'une suite géométrique)
Alors la suite (Vn) définie par est géométrique
Bonjour à tous
Une proposition de solution
A) ANALYSE DES DONNEES DE L'ENONCE
D'après l'énoncé on a :
Année 1 :
Début : Montant versé 300,00
Ce montant est "capitalisé" pendant 5 ans soit à la fin 300,00 * 1,03 ⁵ est égal à S(1)
Année 2 :
Début : Montant versé 300,00
Ce montant est "capitalisé" pendant 4 ans soit à la fin 300,00 * 1,03 ⁴ est égal à S(2)
Année 3 :
Début : Montant versé 300,00
Ce montant est "capitalisé" pendant 3 ans soit à la fin 300,00 * 1,03 ³ est égal à S(3)
Année 4 :
Début : Montant versé 300,00
Ce montant est "capitalisé" pendant 2 ans soit à la fin 300,00 * 1,03 ² est égal à S(4)
Année 5 :
Début : Montant versé 300,00
Ce montant est "capitalisé" pendant 1 ans soit à la fin 300,00 * 1,03 ¹ est égal à S(5)
B) On doit calculer la somme de S(1) + (S2)+ … + (S4) + (S5) = V(5)
On constate que la somme V(5) est constituée d'une progression géométrique :
* avec un premier terme de : 300,00 * 1,03
* avec une raison de : 1,03
* avec un nombre de terme de : 5
V(5), appelée valeur acquise par les 5 versements au bout de 5 ans, est la somme de tous ces termes
soit :
V(5) = ( 300,00 * 1,03 ) * [ ( 1,03⁵ - 1 ) ] / ( 1,03 - 1 )
V(5) = ( 309,00 ) * [ ( 1,159274074 -1 ) ] / 0,03
V(5) = 309,00 * 0,159274074 / 0,03
V(5) = 49,215689 / 0,03
V5 = 1 640,523
C) LA VERIFICATION : LE TABLEAU DE CAPITALISATION
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