Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale Calcul matricielTopics traitant de calcul matriciel [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

Matrice + systèmes

Posté par
marion59lsa 26-09-12 à 14:16

Bnjour Bonjour tout le monde, j'ai un DM a rendre pour vendredi et il y a un autre exercice sur lequel je bloque car depuis la 3eme je ne comprend pas comment on fais des systèmes. Voici l'ennonce:

Soit A = ( 4  3      et B = ( a  b
               2  2 )               c  d )
où a, b, c et d disignent des nombres réels.

Questions:

a) Quelle égalité doit vérifier A x B pour que B soit la matrice inverse de A ?
b) Montrer que dans ce cas on obtient les deux systèmes :

{4a + 3c = 1  et  {4b + 3d = 0
  2a + 2c = 0       2b + 2d = 1

c) Résoudre ces systèmes par le calcul et en déduire la matrice B.
d) Comment s'appelle cette matrice B ? La trouver en utilisant la calculatrice (indiquer ce qu'il faut faire)


Mes Réponses :

a) A x B = ( 4a + 3c    4b + 3d   =   ( 1  0
                  2a + 2c    2b + 2d )       0  1 )  = I

I = matrice identité (ou unité)

b) {4a + 3c = 1  et  {4b + 3d = 0
     2a + 2c = 0       2b + 2d = 1

Voila je me suis arrétée là car je ne sais pas faire la suite...

Est ce que quelqu'un pourrait m'aider svp ! Merci !!

Posté par
yogodore : Matrice + systèmes 26-09-12 à 14:22

Bonjour


Alors ce que tu as fait pour le moment est correct. Maintenant tu as deux systèmes de deux équations à 2 inconnues à résoudre.


Commence avec ceci : 2a+2c=0\Leftrightarrow 2(a+c)=0\Leftrightarrow a+c=0\Leftrightarrow a=-c

Maintenant Tu as 4a+3c=1 or a=-c donc ça donne -4c+3c=1\Rightarrow -c=1\Rightarrow c=-1, et donc a=-c=1

Voila Tu as a=1 et c=-1

A toi de trouver b et d

Posté par
godefroy_lehardi Posteur d'énigmesre : Matrice + systèmes 26-09-12 à 14:24

Bonjour,

Prenons le 1er système
4a + 3c = 1
2a + 2c = 0

On voit que si on multiplie la 2ème équation par (-2) et qu'on ajoute les 2 égalités, on fait disparaître l'inconnue a
4a + 3c = 1
-4a - 4c = 0
------------
    -c = 1 donc c = -1

De là, on déduit la valeur de a avec une des 2 équations.

Posté par
marion59lsare : Matrice + systèmes 26-09-12 à 14:45

Je ne sais pas comment faire pour calculer ce système, je n'y ai jamais rien compris...

Posté par
yogodore : Matrice + systèmes 26-09-12 à 14:51

Et bien c'est le moment d'y comprendre quelque chose   Regarde ce que Godefroy et moi avaons fait et essaye déjà de comprendre ceci...

Posté par
marion59lsare : Matrice + systèmes 26-09-12 à 15:00

J'aimerai bien comprendre mais le problème c'est que je ne comprend meme pas vos explications... Desole

Posté par
yogodore : Matrice + systèmes 26-09-12 à 15:06

Je vais le faire étape par étape et tu me dis si tu ne comprends pas. Voila ce quon a :

\begin{pmatrix} 4a+3c=1\\2a+2c=0\\\end{pmatrix}\Leftrightarrow \begin{pmatrix}4a+3c=1\\2(a+c)=0\\\end{pmatrix}\Leftrightarrow \begin{pmatrix}4a+3c=1\\a+c=0\\\end{pmatrix}\Leftrightarrow \begin{pmatrix}{4a+3c=1\\a=-c\\\end{pmatrix}


C'est bon jusque là?

Posté par
marion59lsare : Matrice + systèmes 26-09-12 à 15:12

pourquoi le 2 de 2(a+c) à disparu?

Posté par
yogodore : Matrice + systèmes 26-09-12 à 15:20

Je le détaille :

2(a+c)=0\Leftrightarrow a+c=\frac{0}{2}\Leftrightarrow a+c=0

C'est bon?

Posté par
marion59lsare : Matrice + systèmes 26-09-12 à 15:22

ah oui okok

Posté par
yogodore : Matrice + systèmes 26-09-12 à 15:28

Alors maintenant on sait que a=-c donc on peut remplacer a par -c dans la première équation ce qui donne :

\begin{pmatrix} 4*(-c)+3c=1\\a=-c\\\end{pmatrix}\Leftrightarrow \begin{pmatrix}-4c+3c=1\\a=-c\\\end{pmatrix}\Leftrightarrow \begin{pmatrix}-c=1\\a=-c\\\end{pmatrix}\Leftrightarrow \begin{pmatrix}c=-1\\a=-c\\\end{pmatrix}

c'est toujorus bon?

Posté par
marion59lsare : Matrice + systèmes 26-09-12 à 15:33

oui sa c bon

Posté par
yogodore : Matrice + systèmes 26-09-12 à 15:36

Et donc comme c=-1, alors a=-c=-(-1)=1. Vila le système est résolu, tu as trouvé a et b.

Maintenant il faut résoudre l'autre système

Posté par
marion59lsare : Matrice + systèmes 26-09-12 à 15:40

oui mais je ne vois pas comment faire pour l'autre systeme

Posté par
marion59lsare : Matrice + systèmes 26-09-12 à 15:44

si c'est bon je pense avoir trouver :

{4b + 3d = 0
2b + 2d = 1

2b + 2d = 1  => 2(b+d)=1 => b+d=1 => b=-d

c'est bon ca?

Posté par
yogodore : Matrice + systèmes 26-09-12 à 15:45

Non 2(b+d)=1\Leftrightarrow b+d=\frac{1}{2}

Posté par
marion59lsare : Matrice + systèmes 26-09-12 à 15:47

ensuite pour 4b + 3d = 0

4b + 3d =0 => 4x(-d)+3d=0  =>  -4d+3d=0  =>  -d=0

c'est bon aussi sa?

Posté par
yogodore : Matrice + systèmes 26-09-12 à 15:49

Non reprend dès ta première erreure car ça fausse tout le reste. Tu as :

\\ \begin{pmatrix} 4d+3b=0\\b+d=\frac{1}{2}\\\end{pmatrix}

Posté par
marion59lsare : Matrice + systèmes 26-09-12 à 15:50

2(b+d)=1  =>  b+d=1/2 = 0,5

Posté par
yogodore : Matrice + systèmes 26-09-12 à 15:53

Laisse le sous forme de fraction


\begin{pmatrix}4d+3b=0\\b=\frac{1}{2}-d\\\end{pmatrix}

Et maintenant tu peux remplacer b par ce que l'on vient de trouver dans la prmeière équation.

Posté par
marion59lsare : Matrice + systèmes 26-09-12 à 15:54

je suis perdue la... donc b est égale a combien alors? -0,5d?

Posté par
yogodore : Matrice + systèmes 26-09-12 à 15:55

Continue je t'ai marqué ce qyue tu as

Posté par
marion59lsare : Matrice + systèmes 26-09-12 à 16:12

donc :

4b+3d=0  =>  -4b+3d=0  =>   -4(1/2-d)+3d =0  =>  -2-4d+3d=0  => -2-d=0
=> -d=2  =>  d=-2

dite moi que c'est bon svp !!

Posté par
yogodore : Matrice + systèmes 26-09-12 à 16:17

Alors tu t'en approche raiment, tu appliques bien ce qu'il faut faire par contre tu as pris -4d+3b=0 mais c'est 4d+3b=0 tu a ajouté un signe moins ui ne doit pasêtre là.

ça donne donc :

\begin{pmatrix}4(\frac{1}{2}-d)+3d=0\\b=\frac{1}{2}-d\\\end{pmatrix}

Voila repars de ça et tu vas y ariver maintenant, la fin est proche

Posté par
marion59lsare : Matrice + systèmes 26-09-12 à 16:26

oui je me demander pourquoi j'avais mis un moins. donc :

4b+3d=0  =>  4b+3d=0  =>   4(1/2-d)+3d =0  =>  2-4d+3d=0  => 2-d=0
=> -d=2  =>  d=-2

c'est bon la?

Posté par
yogodore : Matrice + systèmes 26-09-12 à 16:27

Euh à un signe près 2-d=0\Rightarrow -2=d

Posté par
marion59lsare : Matrice + systèmes 26-09-12 à 16:39

Okok merci !

donc:

B= ( a  b
    c   d)

B = ( 1  2,5
     -1  -2 )

mais quoi répondre à cette question :
d) Comment s'appelle cette matrice B ? La trouver en utilisant la calculatrice (indiquer ce qu'il faut faire)
C'est une matrice inverse? mais je ne vois pas de quoi il parle quand il dit la trouver avec la calulette?

Posté par
yogodore : Matrice + systèmes 26-09-12 à 16:45

Alors on sait maintenant que A*B=I_d donc qu'est-ce que B pour A ?

Posté par
marion59lsare : Matrice + systèmes 26-09-12 à 16:47

B est l'inverse de A ?

Posté par
yogodore : Matrice + systèmes 26-09-12 à 16:52

Oui Voila donc la matrice B s'appele l'inverse de A elle se note A^{-1}

Alors la trouver à la calculatrice ça je ne pourrai pas t'aidr car je n'utilise jamais la calculatrice.

Posté par
marion59lsare : Matrice + systèmes 26-09-12 à 17:09

C'est bon j'ai trouver. Merci beaucoup d'avoir pris de votre temps pour m'expliquer. Bonne fin de journée Yogodo

Posté par
yogodore : Matrice + systèmes 26-09-12 à 17:14

Merci de même


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1677 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !