Bonjour, voici l'énoncé deux aquariums A et B d'un  magasin d aquariophilie sont communicants. On a constaté que chaque jour 80% des poissons de l'aquarium A passent dans l'aquarium B et que 45% des poissons de l'aquarium B passent dans l'aquarium A. On définit  pour tout n > ou égal  à  1 , la matrice colonne Xn = (a indice n
                                                                                      b indice n)
où a indice n désigne la proportion de poissons de l'aquarium A et b indice n désigne la proportion de poissons de l'aquarium  B, n jours après le premier jiur de l'observation.
On suppose  que le premier  jour d'observation les populations de poissons sont équireparties entre les 2 aquariums.

1. Calculer la proportion  de poissons dans chaque aquarium le 2e jour d'observation.
b. Montrer qu'il  existe une matrice carrée M telle que pour tout n > ou égal  à  1 on a X indice n+1 = MX indice n où  M = ( 0.2  0.45
                     0.8   0.55 )

c. Déterminer la proportion de poissons dans chaque aquarium le 10e jour d'observation.
2. Déterminer un état X stable pour les flux de circulation des poissons entre les deux aquariums c'est  à  dire telle que X = MX.
3.a. On note P = ( 0.36  0.36  et Q = ( 0.64  -0.36
                   0.64  0.64 )         -0.64  0.36 ),
calculer PQ et QP.
c. Démontrer que pour tout n > ou égal à  1 on a P^n = P et Q^n = Q
d. Démontrer que pour tout n > ou égal à 1 on a M^n = P + (-0.25)^n × Q
4. Donner  alors l'expression de a indice n en fonction de n puis déterminer sa limite. Interprèter.

J'ai réussi à faire jusqu'à 3)c)d) je bug pour la réccurence :

Hérédité :
Hypothèse de récurrence : P^n=P
A démontrer : P^{n+1}=P

P^{n+1}=P^nP=PP = ....

idem pour Q^n (mais j'arrive plus après PP)


d)
Récurrence.
Initialisation facile.

Hérédité.
Hypothèse récurrence : M^n = P + (-0.25)^n Q  
A démontrer : M^{n+1} = P + (-0.25)^{n+1} Q  

M^{n+1} = M^nM = (P + (-0.25)^n Q)M)=PM+(-0.25)^n QM=.... (après j'arrrive plus)

MERCI