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MATRICES et Algèbre Linéaire pour les pros...
Bonjour à tous et merci d'avance pour votre aide.
J'ai un exercice pas très fazcile sur l'algèbre linéaire et les matrices...
Soit A = (a ij) 
Mn (K). On note Tr l'application qui à une matricie lui associe sa trace.
J'ai déjà prouvé que cette application était linéaire sur Mn (K).
4) Soit E un K-espace vactoriel, f et g 2 endomorphismes de E tels que f°g - g°f = idE
Montrez que E ne peut pas être de dimension finie et donner un exemple.
Je propose un raisonnement par l'absurde mais je n'arrive pas à le finir...
Supposons que E est de dimension finie, montrons que f et g sont deux endomorphismes de E tels que f°g - g°f = idE
5) On suppose ici E de dimension finie. Montrez que l'on peut définir une application Tr sur L(E).
6) Soit E de dimension finie et p un projecteur de E. Démontrer que le rang de p est égal à sa trace.
Encore merci merci et merci d'avance pour votre aide.
Pour 4.
Si n 
* il n'existe pas de (A,B) Mn(K) 
Mn(K) telles que AB- BA = In(sinon n = tr(I[sub]n[/sub) =.....)
Pour 4.
Soit B l'ensemble des bases de E .
Soit u L(E) . Pour toute b B on désigne par Matr(u,b) la matrice de u dans la base b .
On a : {tr( Matr(u,b)) | b B } est un singleton noté {Tr(u)}
(Si b et c sont dans B on a une relation entre Matr(u,b) et Matr(u,c) faisant intervenir la matrice de passage de b à c . )
Pour 4.
Utilise une base b convenable pour que Matr(p,b) soit simple
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