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Niveau Maths sup
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mauvaise rédaction => raisonnement flou

Posté par
J-R 01-07-09 à 11:06

bonjour,

j'ai du mal à rédiger une question:

Citation :
soit (u_n)_{n\in \mathbb{N}} une suite de rationnels, u_n=\frac{a_n}{b_n} où \left{a_n\wedge b_n=1 \\ a_n \in \mathbb{Z} \\ b_n \in \mathbb{N}^*.
(u_n) convergente vars l (réelle)


1) montrer que si (b_n) est majorée alors l est rationnelle


bon en fait je pense que l'endroit où ça peut clocher c'est que notre ensemble \{u_n , n\} va être fini (puisque a_n et b_n vont décrirent des ensembles finis vu que (u_n) est bornée).

mais j'arrive pas à le mettre en place ...

si l est irrationnelle,

\exists n_0, n>n_0, u_n\in ]l-d,l+d[ (pour tout d>0) et j'aimerais mq dans un tel intervalle, notre ensemble considéré va être infini ... on "voit bien" que notre ensemble étant fini il faut que au bout d'un certain indice, u_n soit stationnaire ce qui est impossible si l est irrationelle.

enfin bref j'ai du mal à l'expliquer clairement.

merci

Posté par
thiblepriRe 01-07-09 à 11:10

Bonjour,
Que se passe-t-il si bn est majorée?

Posté par
thiblepriRe 01-07-09 à 11:11

Pour la suite bn of course

Posté par
J-Rre : mauvaise rédaction => raisonnement flou 01-07-09 à 11:39

si (b_n) est majorée, (un) étant convergente,

\{u_n , n_mathbb{N}\} est fini .

Posté par
J-Rre : mauvaise rédaction => raisonnement flou 01-07-09 à 11:41

si (b_n) est majorée, (un) étant convergente,

\{u_n , n\in \mathbb{N}\} est fini .

Posté par
thiblepriRe 01-07-09 à 11:46

Ben oui... Donc, s'il est fini, est-il possible d'avoir un irrationnel dans cet ensemble?

Posté par
thiblepriRe 01-07-09 à 11:49

Non mais en fait, soit:
z1, z2,........., zk les valeurs que prennent les termes de la suite (b)
x1, x2,........., xj les valeurs que prennent les termes de la suite (a),
Quelles valeurs peuvent prendre les termes de la suite (u)

Posté par
J-Rre : mauvaise rédaction => raisonnement flou 01-07-09 à 12:08

Citation :
Ben oui... Donc, s'il est fini, est-il possible d'avoir un irrationnel dans cet ensemble?



il est là le pb car je peux avoir une suite de rationnelle qui tende vers un réel (la limite n'est pas nécessairement atteinte ...) ?

Posté par
thiblepriRe 01-07-09 à 12:11

Regarde mon 2ème post.

Posté par
J-Rre : mauvaise rédaction => raisonnement flou 01-07-09 à 12:52

ok c'est bon , en fait on voit que nécessairement notre suite stationne.

merci bien

@+

Posté par
J-Rre : mauvaise rédaction => raisonnement flou 02-07-09 à 17:56

re,

une petite généralisation:

désormais en suppose que q_n ne tend pas vers +oo (on garde qd même ce qu'on l'on avait avant : (u_n) convergente).

il faut mq on a toujours l rationnel.

en indication il donne : introduire une suite extraite...

benh là j'ai pas réellement de piste.

à la rigueur:

\exists A>0, \forall n_0, (n\le n_0 et q_n<A)

ne pourrais t-on pas se ramener au cas du 1) ?

mais d'où sortir cette suite extraite ?

merci

Posté par
J-Rre : mauvaise rédaction => raisonnement flou 02-07-09 à 18:01

euh oué :

\exists A>0 \ , \ \forall n_0 \ , \ (n\ge n_0 \ et \ b_n<A)

Posté par
thiblepriRe 03-07-09 à 09:28

Bonjour,
Qu'est-ce que qn

Posté par
thiblepriRe 03-07-09 à 09:28

?

Posté par
J-Rre : mauvaise rédaction => raisonnement flou 03-07-09 à 09:59

oué je me suis mélangé:


Citation :
re,

une petite généralisation:

désormais en suppose que b_n ne tend pas vers +oo (on garde qd même ce qu'on l'on avait avant : (u_n) convergente).

il faut mq on a toujours l rationnel.

en indication il donne : introduire une suite extraite...

benh là j'ai pas réellement de piste.

à la rigueur:


\exists A>0 \ , \ \forall n_0 \ , \ (n\ge n_0 \ et \ b_n<A)

ne pourrais t-on pas se ramener au cas du 1) ?

mais d'où sortir cette suite extraite ?

merci

Posté par
thiblepriRe 03-07-09 à 10:01

Si bn est une suite d'entiers non majorée, alors elle prend un nombre finie de valeurs. Donc??

Posté par
J-Rre : mauvaise rédaction => raisonnement flou 03-07-09 à 10:05

Citation :
Si bn est une suite d'entiers non majorée, alors elle prend un nombre finie de valeurs


et pourquoi cela ?

merci

Posté par
thiblepriRe 03-07-09 à 10:11

D'entiers positifs (évidemment)... Par l'absurde cela semble clair non?

Soit bn une suite d'entiers positifs.
Supposons que bn soit majorée par A. Alors:
0bnA

Soit C la partie entière de A.
Comme bn est une suite d'entiers, on peut même dire:
0bnC.
Supposons alors que bn puisse prendre une infinité de valeurs, alors il y aurait une infinité d'entiers entre 0 et C (ce qui est faux car il y en a C+1)

Posté par
J-Rre : mauvaise rédaction => raisonnement flou 03-07-09 à 10:35

oui si b_n est majorée elle prend un nombre fini de valeurs : ok

mais en fait tu veux dire que c'est bidon parce que l'on a d'emblée que b_n est majorée et qu'on se ramène facilement au cas 1)...

le fait que b_n ne tende pas vers +oo assure qu'elle soit majorée ?

en effet, la proposition:

\exists A>0 \ , \ \forall n_0 \ , \ (n\ge n_0 \ et \ b_n<A)

ne signifie pas que b_n est majorée car notre entier n_0 dépend de A.

mais qu'importe puisque pour les termes d'indices inférieurs à n_0 sont en nombre finis donc il suffira de prendre le max d'entre eux pour majorée b_n sur N entier.

donc là b_n étant majorée on retombe sur le cas 1) ?

Posté par
thiblepriRe 03-07-09 à 12:00

Excuse moi, j'avais lue majorée... Je ne comprenais pas ce que tu me disais. Mais tu m'as dit qu'on supposait que bn ne tend pas vers +, donc il n'existe pas de rang à partir duquel elle soit toujours au dessus d'une certaine valeur A... (en gros c'est ce que tu as écris dans ton post de 09:59). Donc, comme suite extraite, on prend les termes qui sont en dessous de A.

Posté par
thiblepriRe 03-07-09 à 12:02

"j'avais lu"


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