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Mélande de fonctions, de dérivées et d'asymptotes

Posté par
Adeline35 08-09-07 à 14:14

Bonjour à tous je suis actuellement en classe de terminal S et je bloque sur un exercice qui regroupe les fonctions, les dérivées et les asymptotes.
Voici l'énoncé ( je rédigerai mes pistes en dessous ) :

On se propose détudier la famille de fonctions, définie sur R par F[indice a](x)= ax + ( 1/(1+x²) ), a étant un réel positif. On appelle C [indice a] la courbe représentative de la fonction F[indice a].

1) Etude de quelque exemples
a- Utiliser la calculatrice graphique pour observer C[indice 0], C[indice 0.1], C[indice0.5] et C[indice 1] >> ok
b- En quoi ces courbes se ressemblent, en quoi sont-elles différentes ? >> ok
c- Tracer ces 4 courbes dans un repère adapté >> ok

2) Etude générale
a- Montrer que toutes les courbes ont exactement un point commun.
question >> Faut-il le montrer graphiquement ou bien par le calcul ?

b- Montrer que toutes ces courbes ont une droite asymptote en -oo et +oo
Etudier la position de chaque courbe par rapport à cette asymptote.
>> J'ai calculé les limites des 4 fonctions
* Pour C[indice 0] je trouge que la limite est égale à O en +oo et en -oo et que donc la courbe admet une asymptote en y=0
* Pour les 3 autres fonctions je trouve que quand elles tendent vers +oo, leur limite est +oo et quand elles tendent vers -oo, leur limite est -oo
>> Qu'est ce que cela signifie ??

c- Calculer la dérivée de F'[indice a] de F[indice a] puis la dérivée F''[indice a] de F'[indice a]
>> je trouve F'[indice a]= a - (2x)/(1+x²)²
et F''[indice a]= ( 6x^4 + 4x² - 2 )/ (1+x²)^4 mais je ne suis pas sûre de ce résultat

Il faut maintenant étudier le signe de cette fonction << quelle fonction F'[indice a] ou F''[indice a] ??

d- Etudier les variations de la fonction F'[indice a]

e- Pour quelles valeurs de a, la fonction F[indice a] est elle croissante , puis décroissante, puis croissante. Dresser le tableau de variations >> ok

voilà j'espère que certains d'entre vous pourrons m'aider
je vous remercie beaucoup d'avance
et si vous avez des questions demandez moi !

Posté par
Adeline35Dm fonctions, dérivées, asymtotes 08-09-07 à 14:33

Bonjour à tous je suis actuellement en classe de terminal S et je bloque sur un exercice qui regroupe les fonctions, les dérivées et les asymptotes.
Voici l'énoncé ( je rédigerai mes pistes en dessous ) :

On se propose détudier la famille de fonctions, définie sur R par F[indice a](x)= ax + ( 1/(1+x²) ), a étant un réel positif. On appelle C [indice a] la courbe représentative de la fonction F[indice a].

1) Etude de quelque exemples
a- Utiliser la calculatrice graphique pour observer C[indice 0], C[indice 0.1], C[indice0.5] et C[indice 1] >> ok
b- En quoi ces courbes se ressemblent, en quoi sont-elles différentes ? >> ok
c- Tracer ces 4 courbes dans un repère adapté >> ok

2) Etude générale
a- Montrer que toutes les courbes ont exactement un point commun.
question >> Faut-il le montrer graphiquement ou bien par le calcul ?

b- Montrer que toutes ces courbes ont une droite asymptote en -oo et +oo
Etudier la position de chaque courbe par rapport à cette asymptote.
>> J'ai calculé les limites des 4 fonctions
* Pour C[indice 0] je trouge que la limite est égale à O en +oo et en -oo et que donc la courbe admet une asymptote en y=0
* Pour les 3 autres fonctions je trouve que quand elles tendent vers +oo, leur limite est +oo et quand elles tendent vers -oo, leur limite est -oo
>> Qu'est ce que cela signifie ??

c- Calculer la dérivée de F'[indice a] de F[indice a] puis la dérivée F''[indice a] de F'[indice a]
>> je trouve F'[indice a]= a - (2x)/(1+x²)²
et F''[indice a]= ( 6x^4 + 4x² - 2 )/ (1+x²)^4 mais je ne suis pas sûre de ce résultat

Il faut maintenant étudier le signe de cette fonction << quelle fonction  F'[indice a] ou F''[indice a] ??

d- Etudier les variations de la fonction F'[indice a]

e- Pour quelles valeurs de a, la fonction F[indice a] est elle croissante , puis décroissante, puis croissante. Dresser le tableau de variations >> ok

voilà j'espère que certains d'entre vous pourrons m'aider
je vous remercie beaucoup d'avance
et si vous avez des questions demandez moi !

*** message déplacé ***

Posté par
cailloux Correcteurre : Mélande de fonctions, de dérivées et d'asymptotes 08-09-07 à 14:33

Bonjour,

2) par le calcul bien sûr!

que vaut f_a(0) ?

Posté par
Adeline35re : Mélande de fonctions, de dérivées et d'asymptotes 08-09-07 à 14:43

Bonjour et merci pour l'aide !

F[indice a] (0) = 1

En fait il faut que je dise que :
F[indice 0] (0)= 1
F[indice0.1](0)= 1
F[indice 0.5](0)= 1
F[indice 1] (0) = 1
et que donc ces courbes ont un point commun M(0;1)

C'est bien cela ?

Posté par
Adeline35Mélande de fonctions, de dérivées et d'asymptotes 08-09-07 à 14:56

?

Posté par
cailloux Correcteurre : Mélande de fonctions, de dérivées et d'asymptotes 08-09-07 à 15:02

Oui toute les courbes C_{f_a} passent par ce point A(0,1) , mais il faut que tu démontres qu' il est unique:

il faut supposer que 2 courbes (avec a et a' positifs distincts) ont un point commun:

soit f_a(x)=f_{a'}(x) \Longleftrightarrow ax+\frac{1}{1+x^2}=a'x+\frac{1}{1+x^2}

ou bien encore x(a-a')=0 \Rightarrow x=0 car a\not=a'.

Posté par
cailloux Correcteurre : Mélande de fonctions, de dérivées et d'asymptotes 08-09-07 à 15:11

Pour l' asymptote, il s' agit d' une asymptote oblique:

\lim_{x\to \pm \infty}f(x)-ax= \lim_{x\to \pm \infty}\frac{1}{1+x^2}=0

La droite d' équation y=ax est donc asymptote oblique aux courbes C_{f_a} en -\infty et +\infty.

Posté par
cailloux Correcteurre : Mélande de fonctions, de dérivées et d'asymptotes 08-09-07 à 15:19

Tes dérivées première et seconde sont justes, mais:

f''(x=\frac{6x^4+4x^2-2}{(x^2+1)^4}=\frac{2(3x^2-1)(x^2+1)}{(x^2+1)^4}

finalement, f''(x)=\frac{2(3x^2-1)}{(x^2+1)^3}

Il faut étudier le signe de cette dérivée seconde pour déterminer les variations et le signe de la dérivée première et enfin les variations de f_a.

f''(x) est donc du signe de 3x^2-1

A toi...

Posté par
Adeline35Mélande de fonctions, de dérivées et d'asymptotes 08-09-07 à 15:36

ok merci je vais continuer sur la question des dérivées et je reviendrai à la question sur les points commun après car je n'ai pas tout a fait compris la méthode
merci beaucoup en tout cas de ton aide

Posté par
Adeline35Mélande de fonctions, de dérivées et d'asymptotes 08-09-07 à 16:01

suite de l'étude de signe de la dérivée seconde :

signe de 3x²-1 :
delta = b² -4ac = 12

x1 = -racine de 3 / 3
x2 = +racin de 3 / 3

conclusion : le signe de la fonction est positif dans les intervalles ] -oo;-/3[ et ]3/3;+oo[

c'est bon ?

Posté par
Adeline35re : Mélande de fonctions, de dérivées et d'asymptotes 08-09-07 à 16:04

rectification :

conclusion : le signe de la fonction est positif dans les intervalles ] -oo;-3/3[ et ]3/3;+oo[ et négatif dans l'intervalle [;-3/3;]3/3]

ps : est ce que les parenthèses des intervalles sont mises correctement ?

merci pour l'aide

Posté par
cailloux Correcteurre : Mélande de fonctions, de dérivées et d'asymptotes 08-09-07 à 16:07

Oui c' est bon, (intervalles itou)

tu as donc les variations de f_a' sur ces intervalles.

essaie maintenant de déterminer son signe ( de la dérivée première f_a'

Posté par
Adeline35Mélande de fonctions, de dérivées et d'asymptotes 08-09-07 à 16:17

d- Etudier les variations de la fonction F'[indice a]:

donc grâce au signe de la dérivée seconde on a les variations de la dérivée première qui sont :


F'[indice a] est croissante sur ] -oo;-3/3[ et ]3/3;+oo[ et est décroissante sur [;-3/3;3/3]

est ce bon ? et faut il mettre strictement devant croissante et décroissante ?

merci pour l'aide

Posté par
cailloux Correcteurre : Mélande de fonctions, de dérivées et d'asymptotes 08-09-07 à 16:30

Tu peux mettre strictement.

Il faut que tu fasses le tableau de variation de f'_a avec ses limites en \pm\infty (elles sont nulles)

il faut aussi que tu calcules f_a'(\frac{\sqrt{3}}{3}) (le minimum local pour f'_a)

Tu vas t' apercevoir que pour a>\frac{3sqrt{3}}{8}, f'_a(x)>0 sur \mathbb{R}

Si a=\frac{3sqrt{3}}{8}, f'_a(x)\geq 0 sur \mathbb{R}

Si 0<a<\frac{3sqrt{3}}{8}, f'_a(x) change 2 fois de signe .

Posté par
cailloux Correcteurre : Mélande de fonctions, de dérivées et d'asymptotes 08-09-07 à 16:40

Erreur: Les limite de f'_a en \pm \infty sont a>0

Mais ça ne change rien pour la suite...

Posté par
Adeline35Mélande de fonctions, de dérivées et d'asymptotes 08-09-07 à 16:43

merci encore pour l'aide !!

je voulais également savoir ce qu'il faut chercher quand on dit : " pour quelles valeurs de a la fonction F(indice a) est elle monotone ?

>> j'ai tujours apris qu'une fonction monotone était soit toujours croissante soit toujours décroissante c'est pourquoi je ne comprends pas la question ?!

Posté par
Adeline35re : Mélande de fonctions, de dérivées et d'asymptotes 08-09-07 à 16:45

oups !! j'ai compris j'avais mélangé avec autre chose !! dsl :s

Posté par
Adeline35re : Mélande de fonctions, de dérivées et d'asymptotes 08-09-07 à 16:47

néanmois je ne vois pas comment justifié qu'un fonction est monotone par le calcul. Peut faut il juste apporter la réponse grace au graphique ? qu'en pensez vous ?

Posté par
Adeline35re : Mélande de fonctions, de dérivées et d'asymptotes 09-09-07 à 11:26

?

Posté par
Adeline35étude de signe 09-09-07 à 12:56

bonjour à tous je suis en term S, je planche actuellement sur un dm et je bloque sur une étude signe qui m'empêche de faire la suite !

en effet, il faut étudier le signe de f'[indice a] = a - (2x / (1+x²)²) pour différentes valeurs de a ( a=0, a=0.1 a=0.5 et a=1 )

* Pour a=0 cela donne f'[indice a] = -2x / (1+x²)² donc le signe de a est égale au signe de -2x

mais pour les autres je ne vois pas comment faire car je n'arrive pas à mettre sur le même dénominateur car après ca me donne des chiffres à grande puissance et je ne sais pas comment faire après

j'espère que quelqu'un pourra m'aider
merci beaucoup d'avance

*** message déplacé ***

Posté par
Ragadornre : étude de signe 09-09-07 à 13:00

0,1 = 1/10 tu mets au même dénominateur et tu factorise le numérateur pour trouver le sgien. Idem pour les autres a.

*** message déplacé ***

Posté par
Adeline35re : étude de signe 09-09-07 à 13:06

ok je vois comment faire mais je n'arrive justement pas à factoriser -2x - (1+x²)² ?

merci pour l'aide

*** message déplacé ***

Posté par
Adeline35factorisation compliquée 09-09-07 à 13:15

Bonjour je suis en classe de term S et je bloque sur une factorisation qui est la suivante :

- 2x - (1+x²)²

car grâce à cette factorisation je dois trouver le signe d'une fonction mais je n'y arrive pas je tombe sur des chiffres à grande puissance :s

merci de m'aider

*** message déplacé ***

Posté par
Ragadornre : étude de signe 09-09-07 à 13:15

c'est -2x + (1+x²)² regardes bien tes signes^^. développe et regardes si ça se smplifie, sinon utilises l'identité remarquable a² - b² mais ça risque de donner des racines de x donc à mon aivs en développant ça devrait être plus simple^^.

*** message déplacé ***

Posté par
Eric1re : factorisation compliquée 09-09-07 à 13:17

Bonjour
Tu développes dans un premier temps, pour avoir un polynome du second degré, et après tu peux refactoriser, soit avec le discriminant, si tu le connais, soit avec la forme canonique

*** message déplacé ***

Posté par
jamo Moderateurre : factorisation compliquée 09-09-07 à 13:18

Bonjour,

tu es sur de ton énoncé ?

Car ce que tu as donné ne se factorise pas ...

*** message déplacé ***

Posté par
jamo Moderateurre : factorisation compliquée 09-09-07 à 13:18

Citation :
pour avoir un polynome du second degré


Non, il sera de degré 4 ...

*** message déplacé ***

Posté par
Adeline35re : étude de signe 09-09-07 à 13:19

quand je développe cela me donne :

1+2x²+x^4 - 2x

et si j'essaie de factoriser cela donne : x(x^3 + 2x -2) +1 mais comment puis-je trouver le signe de la fonction avec cela ? car je ne sais pas résoudre les équations du 3è degré

merci pour l'aide

*** message déplacé ***

Posté par
sarriette Correcteurre : factorisation compliquée 09-09-07 à 13:19

bonjour,

sauf erreur, ceci ne se factorise pas dans R. Tu es sure de ta fonction?

peux tu poster l'enoncé excat?



*** message déplacé ***

Posté par
Eric1re : factorisation compliquée 09-09-07 à 13:19

oups. Ah oui, le petit carré discret

*** message déplacé ***

Posté par
Adeline35re : factorisation compliquée 09-09-07 à 13:21

correction : je me suis en effet trompé il s'agit de -2x + (1+x²)²

quand je développe, j'obtiens : x(x^3 + 2x -2) +1 mais que faire après cela? car cela doi m'aider à trouver le signe d'une fonction

dsl et merci de votre aide

*** message déplacé ***

Posté par
jamo Moderateurre : factorisation compliquée 09-09-07 à 13:22

Non, ça ne se factorise pas non plus !

*** message déplacé ***

Posté par
jamo Moderateurre : factorisation compliquée 09-09-07 à 13:22

Donne plutot ton énoncé initial, ça ira plus vite.

*** message déplacé ***

Posté par
Adeline35re : factorisation compliquée 09-09-07 à 13:28

voilà tout l'énoncé je suis à la question 2) e-

merci d'avance

On se propose détudier la famille de fonctions, définie sur R par F[indice a](x)= ax + ( 1/(1+x²) ), a étant un réel positif. On appelle C [indice a] la courbe représentative de la fonction F[indice a].

1) Etude de quelque exemples
a- Utiliser la calculatrice graphique pour observer C[indice 0], C[indice 0.1], C[indice0.5] et C[indice 1] >> ok
b- En quoi ces courbes se ressemblent, en quoi sont-elles différentes ? >> ok
c- Tracer ces 4 courbes dans un repère adapté >> ok

2) Etude générale
a- Montrer que toutes les courbes ont exactement un point commun.

b- Montrer que toutes ces courbes ont une droite asymptote en -oo et +oo
Etudier la position de chaque courbe par rapport à cette asymptote.

c- Calculer la dérivée de F'[indice a] de F[indice a] puis la dérivée F''[indice a] de F'[indice a]
>> je trouve F'[indice a]= a - (2x)/(1+x²)²
et F''[indice a]= ( 6x^4 + 4x² - 2 )/ (1+x²)^4 mais je ne suis pas sûre de ce résultat


d- Etudier les variations de la fonction F'[indice a]

e- Pour quelle valeurs de a la fonction f[indice a] est elle monotone ?

f- Pour quelles valeurs de a, la fonction F[indice a] est elle croissante , puis décroissante, puis croissante. Dresser le tableau de variations


>>> je suis actuellement à la question e- , le professeurnous a dit d'établir le signe de f'[indice a]

f[indice a](x) = ax + (1)/(1+x²)

f'[indice a](x)= a - (2x)/(1+x²)²

f''[indice a](x)= 2(3x²-1) / (1+x²)^3

voila j'espère que vous allez pouvoir m'aider pour cette question e-

*** message déplacé ***

Posté par
Bourricotre : Dm fonctions, dérivées, asymtotes 09-09-07 à 19:31

Bonjour,

Citation :
a- Montrer que toutes les courbes ont exactement un point commun.
question >> Faut-il le montrer graphiquement ou bien par le calcul ?


Tu regardes ce qui se passe sur les représentations graphiques. Tu as l'impression que toutes les courbes passent par un certain point P de coordonnées (p ; f(p)).

Il faut alors montrer que pour tout a de , la relation en question est vraie

*** message déplacé ***

Posté par
Bourricotre : Mélande de fonctions, de dérivées et d'asymptotes 09-09-07 à 19:33

Le multipost est interdit je me suis fait posséder avec : (Lien cassé)

Posté par
Océane Webmasterre : Mélande de fonctions, de dérivées et d'asymptotes 09-09-07 à 19:37

-> Adeline35,
merci de respecter les règles du forum et de ne pas faire de multi-post


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