Bonjour,
définition de la mesure de Lebesgue ?

c'est plutot une propriété de la mesure de Lebesgue. du coup je ne sais pas comment la démontrer

Ben non, par théorème, la mesure de Lebesgue est l'unique mesure invariante par translation et tel que . On la construite comme cela!

du coup tu es en train de me dire que y a aucun moyen de le démontrer? , c'est bien ça?
bon ben merci quand même

Eh bien si tu veux, tu peux re-démontrer le théorème ...

ben mon prof de CM me l'a donné sous forme d'exercice, il ne m'a pas donné de théorème, alors je suis un peu perdu .
et mon prof de td a dit que c'était logique donc rien à dire . Je veux juste comprendre , un théorème c'est peut être un peu lourd
bon allez je laisse tomber
merci beaucoup tout de même
bonne soirée

Si tu désigne par un pavé de alors, en effet c'est logique. Tu peux écrire sous la forme . Sa mesure de Lebesgue est alors .

Maintenant, en translatant, on obtient quelque chose du type dont la mesure de Lebesgue est ie .

ah merci beaucoup c'est tout de suite plus clair
merci merci

Je te demande la définition de la mesure de Lebesgue que tu as, en général on la définie ainsi.

Cela étant, la démonstration de H_aldnoer n'en est pas une, il a seulement montré que la mesure de Lebesgue était invariante par translation sur les segments.

oups désolée

on parle de mesure extérieure, je précise

*(A)= inf{ (n=0;) v(In) , (In) est une suite de pavés tels que AIn}

sinon ne te prends pas la tête , bien que ça me fasse plaisir, parce que c juste une recherche personnelle

merci beaucoup
et bonne soirée

Ok, en fait on peut voir la mesure de Lebesgue comme étant la complétée de la mesure de Borel. Une façon plus ou moins honnête de "trivialiser" le problème est d'utiliser le théorème de représentation de Ries à une forme linéaire bien choisie pour compléter la mesure de Borel en gardant certaines propriétés et notamment l'invariance par translation.

euh... En fait, je ne sais pas quel niveau tu as, mais je n'ai pas vu tout ça et je ne les verrais pas encore cette année (chapitre intégrale terminé).Donc, tout ce que tu me racontes m'est totalement inconnu.
Nous avons plutôt étudier cette intégrale en tant qu'extension des intégrales de Riemann.

En tout cas, merci beaucoup

Salut,
l'idée est justement là, tu peux prolonger l'intégrale de Riemann, et il se trouve qu'en appliquant le théorème de Riesz à l'intégrale de Riemann, on voit qu'il existe une mesure complète qui, vue comme une forme linéaire, doit correspondre à l'intégrale de Riemann pour les fonctions Riemann intégrable.

Cette unique mesure est la mesure de Lebesgue.

Salut,
pour montrer que la mesure de lebesgue est invariante par translation,il faut d'abord :
1, le verifier pour l'ensemble S qui qui engendre l'Algebre de Borel.
2, puis le verifier pour l'algbere de Borel elle meme.
3, il faut verifier que pour tout mesurable A ,  A+b (ie la translaté) est mesurable,on peux montrer ca grace a la fonction f:x-->x-b qui est continue ,donc borelienne , l'image reciproque de A qui est borelien c'est  A+b donc aussi borelienn.
4, puis le montrer pour la tribu borelinenne ,  en utilisant le fait que la mesure de lebesgue est sigma-fini,donc on peux appliquer le theoreme qui dit que si deux mesure coincide sur une algebre , alors ils coincide sur la tribu engendre par cette algebre .