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Mesure sigma finie
Bonjour,
un petit problème sur l'exercice suivant :
Soit un ensemble contenant au moins deux éléments et
.
On se donne une tribu sur
.
Si , vérifier que
est une mesure positive sur
. Est-elle
-finie ?
Comme et que
, on a
.
Ensuite pour toute suite dénombrable et 2 à 2 disjoints, on a :
Si ie s'il existe un
tel que
,
. Mais aussi
et ce pour tout
. Donc
: dois-je préciser quelque chose ici ? on a une somme infinie de terme infini en fait!
Si alors
. Et j'arrive plus à poursuivre.
Je dois comparer ça avec . Or dans ce cas, comme
,
est dans aucun des
et donc
.
Donc et
.
Avec la formule de Poincaré, on a je crois . Mais pour
, je crois bien que c'est différent de
!
Bonjour,
es-tu sur de ton énoncé ?
Si tu prends a=-10 N=1 A={1,...,11} et B={12}
alors mu(AUB)=10^1=10
mu(A)=10 et mu(B)=1 et A et B étant disjoints on trouve 11=10.
A moins d'avoir échappé à quelque chose, il commence à être tard ici ...
Cela dit c'est une capacité au sens de Choquet.
Vois tu une faille ?
La mesure de AUB est l'inf entre son cardinal et 10. Son cardinal est de 12, donc sa mesure est de 10.
La mesure de A est l'inf entre son cardinal et 10, son cardinal étant de 11, sa mesure est de 10.
La mesure de B est l'inf entre son cardinal et 10, sa mesure est donc de 1.
J'ai choisi a de sorte qu'il ne vienne jamais perturber ces calculs.
D'ailleurs tu vois que c'est à l'étape d'additivité que tu as un problème.
A moins que je sois passé à coté de quelque chose, je ne vois pas où mon contre exemple serait faux.
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