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Méthode

Posté par
Thoy 22-12-09 à 16:51

Bonsoir,

Petit problème sur une suite telle que u0 réel positif, et un+1=rac(2+un).
Montrer que

|u_{n+1}-2|\le\frac{|u_n-2|}{2}

Pouvez vous m'aider?

Posté par
rogerdSuite 22-12-09 à 16:58

Bonsoir

Commence par une étude graphique.
Si tu n'as pas déjà fait d'exercice de ce type, je te donnerai plus de détails.

Posté par
Thoyre : Méthode 22-12-09 à 17:04

Oui j'ai déjà fait l'étude graphique, u décroissante et minorée par 0, donc elle converge, et sa limite est nécessairement un point fixe donc l=2.
Simplement je comptais passer par les inégalités triangulaires mais je tourne un peu en rond là sur cette question !

Posté par
rogerdSuite 22-12-09 à 17:08

As-tu essayé avec le théorème des accroissements finis?

Posté par
Thoyre : Méthode 22-12-09 à 17:45

Je n'y arrive pas non plus!

Posté par
esta-fettere : Méthode 22-12-09 à 17:45

bonjour...

4$ |u_{n+1}-2|\le\frac{|u_n-2|}{2}

c'est équivalent à :

4$ (u_{n+1}-2)^2\le (\frac{|u_n-2|}{2})^2

donc:

4$ (\sqrt {2+u_n} - 2)^2 \le (\frac{|u_n-2|}{2})^2

et après ça peut aller assez bien
4$ (2+u_n+4-4\sqrt {2+u_n} \le (\frac{|u_n-2|}{2})^2

Posté par
Thoyre : Méthode 22-12-09 à 17:53

Bonjour

Je ne retrouve pas l'égalité comme ça !

Posté par
Thoyre : Méthode 22-12-09 à 18:23

Pouvez vous me guider ?

Posté par
Thoyre : Méthode 22-12-09 à 19:48

Merci en tout cas de m'avoir aidé, j'attends vos réponses

Posté par
esta-fettere : Méthode 22-12-09 à 19:57

posons x = u_n....

peut-on montrer que: si \sqrt 2 < x < 2
alors

4$ 6+x-4\sqrt{2+x} - \frac {x^2-4x+4}4 \leq 0

Posté par
Thoyre : Méthode 22-12-09 à 20:08

Oui mais je ne retrouve jamais la bonne inégalité!

Posté par
esta-fettere : Méthode 22-12-09 à 21:47

1- on montre que u_n est compris entre racine de 2 et 2....
2. on en déduit l'inégalité ci-desssus.

3. on fait le chemin en arrière. (en prenant toutes les lignes que j'ai écrites)

Posté par
Thoyre : Méthode 22-12-09 à 21:51

Oui j'avais bien compris, mais je n'y arrive toujours pas, donc ma foi... je reprendrais peut être cela plus au calme plus tard!


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