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méthode de la "dichotomie"
Bonjour à tous.
Je bloque dans un problème sur la dichotomie.
Je vous donne les données :
Soient a<b deux réels et f : [a,b]
une application continue et strictement monotone sur [a,b] telle que f(a).f(b)<0
En premier lieu je devais montrer que f possède un unique zéro sur ]a,b[. Pour ça pas de problème ( f(x0)= 0).
Par contre ensuite on introduit des suites et j'ai du mal :
2/ On suppose dans ette question que f est strictement croissante.
On définit alors deux suites réelles (an)n
et (bn)n par récurrence comme suite :
a0 = a
b0 = b
cn = (an + bn)/2
Si f(cn) < 0 alors : an+1= cn, et bn+1=bn
Si f(cn) 
0 alors : an+1= an, et bn+1= cn
Je dois montrer que : 
n, an
x0 bn
Le problème c'est que si je sépare les cas en fonction de f(cn), je trouve dans un cas :
Si f(cn) < 0 alors : an+1 < x0 < b0
Si f(cn) 0 alors : a0 < x0 bn+1
Comment me dépatouiller avec ça ^^ ?
Pour l'initialisation c'est pas compliqué puisqu'on a :
a_0 < x_0 < b_0
Mais pour l'hérédité jnage totalement.
Dans chaque cas je n'arrive à faire apparaitre que pour un membre le rang n+1, et pour l'autre je ne vois pas ....
Ben tu fais une minuscule distinction de cas et c'est réglé en moins de temps qu'il faut pour le dire...
Mais si je distingue les cas je n'arrive pas a passer des rangs n aux rang n+1.
En plus ce qui m'énèrve c'est que ça a l'air simple et jbloque dessus depuis tout à l'heure !!
C'est totalement triviale:
On suppose que an<x0<bn.
Cas où f(c_n)<0:
Alors on a f(a_(n+1))<f(x0) donc a_(n+1)<x0 par croissance de f.
De plus, b_(n+1)=b_n>x0.
Donc ben voilà...
A d'accord !!!
Oulalala jme sens un peu honteux là :S
J'avais oublié de prendre en compte le fait que c_n = a_n+1 ....
Merci shumi
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