Niveau Licence Maths 1e ann

Méthode des multiplicateurs de Lagrange

Posté par
cafeadicto 16-03-10 à 20:11

Bonsoir,

Je cherche à determiner les extrema de la fonction $f(x_1,\cdots ,x_n)=\prod_{i=1}^{n} x_i$ sur la sphère $S^n=\{\sum{i=1}^n x_i^2=1\}$ avec la méthode des multiplicateurs de Lagrange. J'ai donc considéré la fonction $h(x_1,\cdots ,x_n)=\sum{i=1}^n x_i^2-1$ , et en utilisant que si M est un extremum sous contrainte, il existe $\lambda \in R$ , tel que $Df(M)=\lambda Dh(M)$ , j'obtient le système :
$\{\begin{eqnarray*} \\ \prod_{j\neq 1} x_j&=&2\lambda x_1\\ \\ \prod_{j\neq 2} x_j&=&2\lambda x_2\\ \\ \cdots\\ \\ \prod_{j\neq n} x_j&=&2\lambda x_n\\ \\ \end{eqnarray*}$

Et je n'arrive pas a conclure après.

Je vous remercie d'avance pour votre aide.

Posté par re : Méthode des multiplicateurs de Lagrange 16-03-10 à 21:41

Bonsoir cafeadicto,

Déjà, note que lambda est forcément non nul. En effet, s'il l'était, cela signifierait que l'un des $x_i$ serait nul puisque le produit est nul. Et donc que $f(x_1,...,x_n)=0$ . Or 0 n'est ni maximum, ni minimum de cette fonction sur la sphère. Prenons par exemple ( $\frac{1}{\sqrt{n}}$ ,..., $\frac{1}{\sqrt{n}}$ ). Le produit est évidemment non nul, donc si un $x_i$ est nul, le point n'est pas maximum. Il n'est, de la même manière, pas minimum. Prenons ( $-\frac{1}{\sqrt{n}}$ ,..., $\frac{1}{\sqrt{n}}$ ) (juste un seul -), dont le produit est inférieur (strictement) à 0.
Pour le système, tu multiplies les lignes par, respectivement, $x_1$ ,..., $x_n$ . Tu obtiens le produit complet et cela te donne, puisque $\lambda$ est non nul, ${x_i}^2={x_j}^2$ , $\forall i,j \in \mathbb{[}1;n\mathbb{]}$ .
Tes extrema sont donc les points de la forme ( $\pm \frac{1}{\sqrt{n}},...,\pm \frac{1}{\sqrt{n}}$ ).

Et pour info, la sphère unité de $\mathbb{R}^n$ , c'est $\mathbb{S}^{n-1}$ et non pas $\mathbb{S}^n$ ...

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